Fonction numérique

Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités sont représentées par des variables, alors une variable est fonction d’une autre, quand il y a une règle qui permet d’obtenir la valeur de cette variable, à partir de la valeur de l’autre.

Exemple: la quantité "chiffre d'affaire" d'une entreprise dépend de la quantité "nb de produits vendus"

Une fonction numérique est une règle qui permet d'associer à un réel un autre nombre réel.
Donnons l’exemple d’un épicier qui augmente les prix de tous ses articles de 20%. Ajouter à chaque prix 20% du prix, revient à multiplier chaque prix par 120%. La règle que l’épicier va appliquer à chaque prix est la multiplication par 1,2 et nous dirons que le nouveau prix est fonction de l’ancien.

Une fonction numérique f ou fonction réelle d’une variable réelle d’une partie D de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, est une correspondance (ou application) qui à tout élément x de D associe un réel et un seul noté f(x).
Ce réel f(x) est l’image de x par f.

Cette partie D de $\mathbb{R}$ est appelée l’ensemble de définition de f.

Notation

Nous notons la fonction :

ou plus simplement $f:x\mapsto f(x)$

Exemple

Soit la fonction qui à tout nombre réel de l'intervalle [ − 1; + 1] associe son carré diminué de 1.

Nous pouvons définir la fonction f des manières suivantes :

Soit f définie par :

pour tout réel x dans $[-1;+1],f(x)=x^2-1$

ou encore :

Remarque

Nous ne devons pas confondre f et f(x). Dans l’exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, tandis que f(x) est égal au réel x²-1 qui est associé à x.

Ensemble de définition

Soit f une fonction de D dans $\mathbb{R}$.
Soit x un réel. Si x appartient à D, alors on dit que f est définie en x, et si x n’appartient pas à D on dit que f n’est pas définie en x.

Remarques

• L'ensemble de définition d'une fonction peut être donné dans l'énoncé définissant la fonction et sinon il doit être déterminé.
• Rechercher l’ensemble de définition ou le domaine de définition d’une fonction, c’est déterminer les réels x tels que f(x) existe.

Bon nombre de lycéens tiennent pour vraie la relation f(a+b)=f(a)+f(b) :

• pour la fonction carré, cela donnerait (a+b)²=a²+b², ce qui est faux (voir identité remarquable) ;
• pour la fonction sinus, cela donnerait sin(a+b)=sin(a)+sin(b) donc 0=sin(180°)=sin(90°+90°)=sin(90°)+sin(90°)=2, soit 0=2 (voir fonction trigonométrique ;
• pour la fonction logarithme, cela donnerait ln(a+b)=ln(a)+ln(b) donc ln(2)=ln(1)+ln(1)=0, ce qui est encore faux.

En fait la confusion vient de l’application abusive des règles de calcul uniquement valables pour les fonctions linéaires, en d’autres mots pour les situations de proportionnalité.