Formulaire de mécanique

En coordonnées cartésiennes

La vitesse du point situé en r s'écrit

$\mathbf{v}(\mathbf{r})=\frac{\text{d}\mathbf{r}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}{\mathbf{u}}_x+\frac{\text{d}y}{\text{d}t}{\mathbf{u}}_y+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}{\mathbf{u}}_z$,

et l'accélération

$\mathbf{a}(\mathbf{r})=\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2\mathbf{r}}{\text{d}{t}^2}=\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}{\mathbf{u}}_x+\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}{\mathbf{u}}_y+\frac{{\text{d}}^{2}z}{\text{d}{t}^2}{\mathbf{u}}_z$.

En coordonnées cylindriques

$\mathbf{v}=\frac{\text{d}\mathbf{r}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\rho }{\text{d}t}{\mathbf{u}}_{\rho }+\rho \frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{\mathbf{u}}_{\phi }+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}{\mathbf{u}}_z$.

$\mathbf{a}=\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2\mathbf{r}}{\text{d}{t}^2}=\left(\frac{{\text{d}}^2\rho }{\text{d}{t}^2}-\rho {\left(\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\right)}^2\right){\mathbf{u}}_{\rho }+\left(2\frac{\text{d}\rho }{\text{d}t}\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}+\rho \frac{{\text{d}}^2\varphi }{\text{d}{t}^2}\right){\mathbf{u}}_{\phi }+\frac{{\text{d}}^{2}z}{\text{d}{t}^2}{\mathbf{u}}_z$.

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

$\frac{\text{d}{\mathbf{u}}_{\rho }}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{\mathbf{u}}_{\phi }$,

$\frac{\text{d}{\mathbf{u}}_{\phi }}{\text{d}t}=-\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}{\mathbf{u}}_{\rho }$.

En coordonnées sphériques

$\mathbf{r}=r{\mathbf{u}}_r$,

$\mathbf{v}=\frac{\text{d}\mathbf{r}}{\text{d}t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}{\mathbf{u}}_r+r\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{\mathbf{u}}_{\theta }+r\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\sin \theta {\mathbf{u}}_{\phi }$;

$\mathbf{a}=\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^2\mathbf{r}}{\text{d}{t}^2}=a_r{\mathbf{u}}_r+a_{\theta }{\mathbf{u}}_{\theta }+a_{\phi }{\mathbf{u}}_{\phi }$,

avec:

$a_r=\left(\frac{{\text{d}}^{2}r}{\text{d}{t}^2}-r{\left(\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right)}^2+r{\left(\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\right)}^2{\sin }^2\theta \right)$,

$a_{\phi }=\left(r\frac{{\text{d}}^2\phi }{\text{d}{t}^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\sin \theta +2r\frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\cos \theta \right)$.

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel $\mathcal{R}$. Soit un autre référentiel, $\mathcal{R}$', dont l'origine est située au rayon vecteur s dans $\mathcal{R}$. Le rayon vecteur du point, déterminé dans $\mathcal{R}$' est alors

${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-\mathbf{s}$.

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans $\mathcal{R}$ ou dans $\mathcal{R}$'. Elles sont notées avec l'indice $\mathcal{R}$ ou $\mathcal{R}$', de même que les accélérations.

• Vitesse d'entraînement :

• Loi de composition des vitesses :

• Accélération d'entraînement :

• Accélération de Coriolis :

• Loi de composition des accélérations :

Quelques forces

• Poids :

• Interaction électromagnétique :

• Interaction gravitationnelle :

• Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :

• Frottement fluide :

• Force d'inertie d'entraînement :

• Force d'inertie de Coriolis:

Principe fondamental de la dynamique

• Vecteur quantité de mouvement :

$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ (en général)

• Principe fondamental de la dynamique :

• Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

• Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:

• Travail le long d'un chemin Γ_A**B :

• Puissance :

• On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :

• Énergie cinétique d'un point matériel :

• Théorème de l'énergie cinétique :

• Énergie mécanique :

E_m = E_c + E_p

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

• Pesanteur :

E_p = mgz

• Ressort :

• Force de Coulomb :

• Gravitation :

• Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :

• Par rapport à un autre point r'' :

• Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :

• Par rapport à un autre point r'' :

• Théorème du moment cinétique :

$\frac{\text{d}{\mathbf{L}}_{{\mathbf{r}}^{\prime }}}{\text{d}t}=\sum {\mathbf{M}}_{{\mathbf{r}}^{\prime }}(\mathbf{F})+{\mathbf{M}}_{{\mathbf{r}}^{\prime }}({\mathbf{f}}_{{\mathrm{i}}_e})+{\mathbf{M}}_{{\mathbf{r}}^{\prime }}({\mathbf{f}}_{{\mathrm{i}}_c})$.

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

• Équation différentielle de la forme :

$\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{t}^2}+{\omega }_0^{2}u=0$.

• Pulsation propre :

• Période propre:

• Solution sous la forme :

u(t) = Acos(ω₀t) + Bsin(ω₀t).

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

• Équation différentielle de la forme :

• Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

• Δ < 0, soit λ < ω₀, alors

(régime pseudo-périodique)

Pseudo-pulsation :

$\Omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\lambda }^2}$ ;

Pseudo-période :

• Δ = 0, soit λ = ω₀, alors

x(t) = (A**t + B)e (régime critique)

• Δ > 0, soit λ > ω₀, alors

$x(t)=e^{-\lambda t}(A{e}^{\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2}.t}+B{e}^{-\sqrt{{\lambda }^2-{\omega }_0^2}.t})$ (régime apériodique)

• Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.