Fractale du mot de Fibonacci

La fractale du mot de Fibonacci est une courbe fractale définie dans le plan à partir du mot de Fibonacci.

Cette courbe se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule). Pour chaque lettre en position k:

• tracer un segment
• et si "0" alors faire quart de tour:
• à droite si k est pair
• à gauche si k est impair

Pour un mot de Fibonacci de longueur F_n, une courbe de F_n segments est ainsi associée. Selon la valeur de n, la courbe se présente sous trois aspects différents: F_3k, F_{3k + 1}. et F_{3k + 2}.

• La courbe F_n, à F_n segments, présente F_{n − 1} angles droits et F_{n − 2} angles plats.

• La courbe ne présente jamais d'auto-intersection, ni de points doubles. A la limite, elle présente une infinité de points asymptotiquement proches.

• La courbe présente des autosimilarités à toutes les échelles. Le facteur de réduction vaut $1+\sqrt{2}$. Ce nombre, appelé également nombre d'argent ${\delta }_{Ag}$, est présent dans nombre des propriétés géométriques évoquées ci-dessous.

• Le nombre de copies autosimilaires au degré n est un nombre de Fibonacci - 1 (plus précisément F_{3n + 3} − 1).

• La courbe délimite une infinité de structures carrées de taille décroissante, dans un rapport de $1+\sqrt{2}]$.

• Ce nombre de carrés est un nombre de Fibonacci.

• La courbe peut également être construite de diverses manières (voir galerie):

• Système de fonctions itérées à 4 et 1 homothéties de rapport $1/(1+\sqrt{2})$ et $1/(1+\sqrt{2}{)}^2$

• Juxtaposition des courbes n-1 et n-2,

• Système de Lindermayer

• Par construction itérée de 8 motifs carrés autour de chaque motif carré.

• Par construction itérée d'octogones.

• La dimension fractale de la courbe vaut $3\frac{\log \varphi }{\log (1+\sqrt{2})}=1,6379$, avec $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, le nombre d'or.

• En généralisant à un angle α quelconque entre 0 et π / 2, sa dimension fractale vaut $3\frac{\log \varphi }{\log (1+a+\sqrt{(1+a{)}^2+1})}$, avec a = cosα.

• La dimension fractale de sa frontière vaut $\frac{\log 3}{\log (1+\sqrt{2})}=1,2465$.

• Interchanger le rôle de "0" et de "1" dans le mot de Fibonacci, ou dans la règle, génère la même courbe, mais orientée à 45°

• A partir du mot de Fibonacci, on peut définir le "mot dense de Fibonacci", sur un alphabet de 3 lettres: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (référencé A143667 dans l'OEIS). L'application, sur ce mot, d'une règle de traçage "naturelle" permet de définir un ensemble infini de variantes de la courbe, parmi lesquelles:

• la variante "diagonale"

• la variante "svastika"

• la variante "compacte"

• On conjecture que le motif de la fractale du mot de Fibonacci se retrouve pour tout mot sturmien dont la séquence directive (donc expansion de la pente en fractions continues) se termine par une suite infinie de "1".

La juxtaposition de 4 courbes de Fibonacci de type F_3k permet la construction d'une courbe fermée délimitant une surface connexe d'aire non nulle. Cette figure est appelée "tuile de Fibonacci".

• La tuile de Fibonacci pave presque le plan. Elle laisse un carré libre dont la surface tend vers zéro à mesure que k tend vers l'infini. A la limite, la tuile de Fibonacci pave le plan.
• Si la tuile de Fibonacci s'inscrit dans un carré de côté 1, alors son aire tend vers $2-\sqrt{2}=0.5857$.

Flocon de Fibonacci

Le flocon de Fibonacci est une tuile de Fibonacci définie selon la règle suivante :

• $q_n=q_{n-1}{q}_{n-2}$ si $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$
• $q_n=q_{n-1}\overline{q_{n-2}}$ sinon.

Avec q₀ = ε et q₁ = D, G = "tourne à gauche" et D = "tourne à droite", et $\overline{D}=G$,

Quelques propriétés remarquables :

• C'est la tuile de Fibonacci associée à la variante "diagonale" définie précédemment.
• Il pave le plan à toute itération (à tout ordre)
• Il pave le plan par translation de deux façons différentes, il s'agit donc d'un double pseudo-carré.
• son périmètre, à l'ordre n, vaut 4F(3n + 1). F(n) étant le nième nombre de Fibonacci.
• son aire, à l'ordre n, suit les index successifs de rang impair de la suite de Pell (définie par P(n) = 2P(n − 1) + P(n − 2)).