Mot de Fibonacci

Un Mot de Fibonacci est une suite spécifique de lettres ou symboles pris dans un alphabet quelconque de deux lettres. Les mots de Fibonacci sont à l'opération de concaténation ce que les nombres de Fibonacci sont à l'addition.

À partir de l'alphabet {0;1}, Posons S₁ = "1" and S₂ = "0". alors le mot de Fibonacci S_n = S_{n − 1}S_{n − 2} (la concaténation des deux précédents termes).

Le mot infini de Fibonacci est la limite $S_{\infty }$.

Le mot de Fibonacci est baptisé par analogie avec la suite de Fibonacci, en substituant l'addition par la concaténation.

Les mots de Fibonacci successifs sont :

• S₁    1
• S₂    0
• S₃    01
• S₄    010
• S₅    01001
• S₆    01001010
• S₇    0100101001001
• S₈    010010100100101001010
• ...

Le mot infini de Fibonacci commence donc par : 010010100100101001010010010100100101001010010010100101... Cette suite infinie est la suite A003849 de l’OEIS.

On trouve dans la littérature également le terme "suite du Lapin", identique au mot de Fibonacci en inversant "0" et "1". La suite du Lapin commence donc par 101101011...

Expression analytique

La n lettre du mot de Fibonacci est $\lfloor \left(n+2\right)\frac{\phi }{1+2\phi }\rfloor -\lfloor \left(n+1\right)\frac{\phi }{1+2\phi }\rfloor$ où $\phi$ est le Nombre d'or et $\lfloor x\rfloor$ est la fonction partie entière (suite A003849 de l’OEIS).

Règle de substitution ou morphisme

Les mots de Fibonacci peuvent être définis via un morphisme (ou substitution).

Partant d'un mot de Fibonacci S_n, on obtient le mot S_{n + 1} en :

• remplaçant la lettre "1" par "0"
• remplaçant la lettre "0" par "01"

Que l'on peut aussi écrire :

S_{n + 1} = σ(S_n) avec σ le morphisme défini par :

• σ(1) = 0 et
• σ(0) = 01

et, pour le mot infini de Fibonacci, $S_{\infty }={\lim }_{n->\infty }{\sigma }^n(1)$.

On dit aussi que le mot infini de Fibonacci est le point fixe du morphisme σ car $S_{\infty }=\sigma (S_{\infty })$. Ce morphisme est appelé "Morphisme de Fibonacci".

Mot de Fibonacci et suite de Fibonacci

Mot de Fibonacci et Suite de Fibonacci sont étroitement liés. Chaque mot de Fibonacci étant la concaténation des deux précédents et partant de "1", puis "0", alors la longueur du mot de Fibonacci S_n vaut le nombre de Fibonacci F_n.

On écrit: | S_n | = F_n

De même, on montre que:

• le nombre de "0" vaut F_{n − 1}
• le nombre de "1" vaut F_{n − 2}

Diverses propriétés

• Le mot infini de Fibonacci n'est pas périodique. Il n'est pas, non plus, ultimement périodique.
• Les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci sont alternativement "01" et "10"
• En supprimant les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci, on obtient un palindrome.
• En juxtaposant le complément binaire des deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci au début de ce mot, on obtient un palindrome. Ainsi 01S₆ = 0101001010 est un palindrome.
• Dans le mot infini de Fibonacci, le rapport (nombre de lettres/nombre de "0") tend vers φ, le nombre d'or ; de même pour le rapport (nombre de "0"/nombre de "1").
• Le mot de Fibonacci est "équilibré": Soit deux facteurs de même longueur pris n’importe où dans le mot de Fibonacci, la différence entre le nombre de "0" de l’un et le nombre de "0" de l’autre ne dépasse jamais la valeur 1. Nota: tout mot sturmien est équilibré.
• On ne peut trouver dans un mot de Fibonacci le facteur ("sous-mot") "11" ni "000".
• Dans le mot infini de Fibonacci, le nombre de facteurs (sous-mots) distincts de longueur k est k+1. Le mot infini de Fibonacci est donc un mot sturmien. Ainsi, les facteurs distincts de longueur 3 sont au nombre de 4: "001", "010", "100" et "101". Étant non-périodique, ce mot est alors de dit de "complexité minimale".
• Chaque facteur du mot infini de Fibonacci y apparait une infinité de fois.
• Si un mot est facteur du mot infini de Fibonacci, alors son inverse l'est aussi.
• La concaténation de deux mots de Fibonacci successifs est "presque commutative". Ainsi, S_{n + 1} = S_nS_{n − 1} et S_{n − 1}S_n diffèrent seulement sur les deux dernières lettres. Exemple: S₈ = S₇S₆ = (0100101001001)(01001010) et S₆S₇ = (01001010)(0100101001001).
• Le mot infini de Fibonacci est le mot sturmien de pente 1 / φ avec φ, le nombre d'or
• Par conséquent, le mot infini de Fibonacci peut aussi se caractériser par la suite des intersections d'une droite de pente φ ou φ − 1 (φ = nombre d'or), avec les droites de coordonnées entières. Voir figure plus haut.
• Le nombre 0,010010100..., dont les décimales sont construites à partir du mot infini de Fibonacci, est transcendant.
• Les lettres "1" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Upper Wythoff (suite A001950 de l’OEIS) : $\lfloor n{\varphi }^2\rfloor$
• Les lettres "0" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Lower Wythoff (suite A000201 de l’OEIS) : $\lfloor n\varphi \rfloor$
• Le mot de Fibonacci admet des répétitions de 3 sous-mots (cubes), comme "010", mais pas de répétitions de 4 sous-mots. On montre que le mot de Fibonacci admet au plus 2 + φ = 3,618 répétitions. C'est le plus faible index (ou "exposant critique") parmi les mots sturmiens.
• En théorie de la complexité, le mot de Fibonacci est souvent cité comme le "pire cas" pour un algorithme de recherche de répétitions dans une chaine de caractères.

La fractale du mot de Fibonacci se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule).

Cette courbe a été étudiée pour ses propriétés.