Gaz parfait relativiste

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Introduction

Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique

Fonction de partition

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

$Z = \frac{1}{N !} {4 π V (\frac{m c}{h})^{3} exp (u) \frac{K _{2} ( u )}{u}}^{N}$ ,

où :

$u = \frac{m c ^{2}}{k T}$ ,

$K_{n} (x) = \frac{2 ^{n} x ^{n} Γ ( n + 1/2 )}{π} \int_{0}^{+ \infty} \frac{c o s ζ d ζ}{( ζ ^{2} + x ^{2} ) ^{n + 1/2}}$ (fonction de Bessel modifiée de seconde espèce),

avec

T la température ;
N le nombre de particules du gaz ;
m la masse de chaque particule
V le volume occupé par le gaz ;
c la vitesse de la lumière ;
h la constante de Planck ;
k la constante de Boltzman.

Variables thermodynamiques

Variable	Expression générale	Limite classique	Limite ultra-relativiste
énergie interne U	$N m c^{2} [\frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )} + \frac{3}{u} - 1]$	$\frac{3}{2} N k T$	$3 N k T$
énergie libre F	$- N k T {lo g [\frac{4 π V}{N} (\frac{m c}{h})^{3} \frac{K _{2} ( u )}{u}] + 1} - N m c^{2}$
enthalpie H	$N m c^{2} [\frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )} + \frac{4}{u} - 1]$	$\frac{5}{2} N k T$	$4 N k T$
enthalpie libre G	$- N k T lo g [\frac{4 π V}{N} (\frac{m c}{h})^{3} \frac{K _{2} ( u )}{u}] - N m c^{2}$
capacité calorifique C	$N k u {u + \frac{3}{u} - \frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )} [3 + u \frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )}]}$	$\frac{3}{2} N k$	$3 N k$
capacité calorifique C	$N k u {u + \frac{4}{u} - \frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )} [3 + u \frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )}]}$	$\frac{5}{2} N k$	$4 N k$
potentiel chimique μ	$- k T lo g [\frac{4 π V}{N} (\frac{m c}{h})^{3} \frac{K _{2} ( u )}{u}] - m c^{2}$
entropie S	$N k {lo g [\frac{4 π V}{N} (\frac{m c}{h})^{3} \frac{K _{2} ( u )}{u}] + 4 + \frac{K _{1} ( u )}{K _{2} ( u )}}$
pression P	$\frac{N k T}{V}$	$\frac{N k T}{V}$	$\frac{N k T}{V}$

Bibliographie

Ouvrages généraux

Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas, Thermodynamique et mécanique statistique, Springer, 1999