Groupe simple d'ordre 168

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Introduction

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, un groupe simple est un groupe qui n'admet aucun sous-groupe distingué propre. La classification des groupes simples finis montre qu'il est possible de les ranger en quatre catégories : les groupes cycliques d'ordre un nombre premier, les groupes alternés, les groupes de type Lie et les groupes sporadiques.

Le plus petit groupe simple de type Lie est d'ordre 168 ; il est le premier élément de sa catégorie. C'est, à isomorphisme près, le seul groupe simple d'ordre 168. Il peut être vu comme le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps F₂, ou encore comme le groupe spécial linéaire (des automorphismes de déterminant égal à 1) d'un espace de dimension 2 sur le corps F₇. Il peut aussi être vu comme le groupe de Galois d'une équation du septième degré, ou le groupe des automorphismes laissant invariant la quartique de Klein la courbe du plan projectif complexe définie par le polynôme P suivant :

P (X) = X^{3} \cdot T + Y^{3} \cdot T + Z \cdot T^{3}

Ce groupe intervient par exemple dans une démonstration du dernier théorème de Fermat pour le paramètre n égal à 7.

Groupe linéaire GL3(F2)

Classe de conjugaison

Etudions le groupe linéaire d'un espace vectoriel E de dimension 3 sur le corps fini F₂ à deux éléments. Ce groupe est noté G.

Si φ est un élément de G et (e₁, e₂, e₃) une base de E, φ(e₁) peut prendre 7 valeurs distinctes, toutes celles différentes du vecteur nul. Le vecteur φ(e₂) peut être choisi dans un ensemble de 6 valeurs, à savoir tous les vecteurs non colinéaires à φ(e₁). Enfin, φ(e₃) est un vecteur quelconque hors du plan engendré par φ(e₁) et φ(e₂), soit 4 valeurs possibles, ce qui établit la proposition suivante :

Le groupe GL₃(F₂) est d'ordre 168.

Le tableau des classes de conjugaison du groupe est le suivant :

Matrice d'un représentant	Polynôme minimal	Ordre d'un élément	Cardinal	Ordre du centralisateur
$(100010001)$	X + 1	1	1	168
$(110010001)$	X + 1	2	21	8
$(100001011)$	X + 1	3	56	3
$(001101010)$	X + X + 1	7	24	7
$(001100011)$	X + X + 1	7	24	7
$(110011001)$	X + X + X + 1	4	42	4

La première colonne du tableau indique une matrice d'un représentant quelconque de la classe dans une base bien choisie. La deuxième colonne est le polynôme minimal d'un représentant, la troisième colonne est l'ordre d'un élément et la quatrième indique l'ordre de son centralisateur, c'est-à-dire le groupe des éléments qui commutent avec le représentant.

Caractère

La détermination des classes de conjugaison permet d'établir la table des caractères du groupe. Comme il existe 6 classes de conjugaison, il existe exactement 6 représentations irréductibles, à un isomorphisme près dans des espaces vectoriels complexes. Les classes sont nommées en fonction de l'ordre de leurs éléments et les représentations en fonction de leur dimension. Comme il existe 2 représentations de dimension 3 et deux classes composées d'éléments d'ordre 7, ces classes et ces représentations sont indexées par une lettre. On obtient la table suivante :

Car. irr.	C₁	C₂	C₃	C₄	C_7a	C_7b
χ₁	1	1	1	1	1	1
χ_3a	3	-1	0	1	1/2.(-1 + i√7)	1/2.(-1 - i√7)
χ_3b	3	-1	0	1	1/2.(-1 - i√7)	1/2.(-1 + i√7)
χ₆	6	2	0	0	-1	-1
χ₇	7	-1	1	-1	0	0
χ₈	8	0	-1	0	1	1

Simplicité

Le groupe GL₃(F₂) est simple.

Une manière simple de s'en rendre compte est d'étudier la table des caractères. À l'exception du caractère trivial, ils sont tous associés à des représentations fidèles, c'est-à-dire injectives. Pour le vérifier il suffit de remarquer que la trace de l'identité n'est obtenue que pour l'image de l'élément neutre. Si le groupe possédait un sous-groupe distingué non trivial, il existerait un morphisme de G non injectif et non trivial. Le morphisme et une représentation du groupe d'arrivée fournirait une représentation non injective et non triviale.

Il existe aussi une démonstration directe