Indices de pouvoir

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Introduction

Un indice de pouvoir est un outil utilisé en politique microéconomique, une branche de l'économie, qui a été développé en premier par Lloyd Shapley et Martin Shubik en 1954 pour mesurer le pouvoir des participants à un jeu de vote suivant l'hypothèse qu'ils ne disposent pas tous du même nombre de voix.

Introduction

Les différents intervenants, qui prennent part aux décisions de nombreuses institutions grâce à des procédures de vote, ne disposent pas tous du même poids, autrement dit du même nombre de votes. Cette façon de procéder se justifie par des raisons qui sont variées. Dans le cas des organisation internationales comme l'Union européenne, il s'agit de représenter à peu près équitablement les populations de tailles différentes des pays membres. Les différences dans le nombre de représentants attibués à chaque commune membre d'une même intercommunalité ont pour origine ce même genre de motivation.
Dans le cas des assemblées générales d'actionnaires, de co-propriétaires ou bien encore dans les institutions monétaires internationales, les votes peuvent être aussi allouer en tenant compte des contributions financières de chacun des participants à la décision collective. Enfin, un processus démocratique peut être à l'origine des différences de poids: le nombre de sièges que détient un parti dans une assemblée démocratique détermine son poids.
L'idée sous-jacente, quelle que soient les raisons conduisant à l'attribution de différents poids aux différents électeurs, est toujours la même: cela consiste, dans un processus de choix collectif, à donner plus de pouvoir de décision à certains intervenants. Instinctivement, plus un votant a du poids, c'est-à-dire dispose de votes, plus il est perçu comme puissant et il y a ainsi matière à être tenté de croire que le pouvoir d'un vote correspond à son poids. Cette idée s'illustre par l'exemple suivant: les Etats-Unis sont souvent présentés comme disposant de 18% du pouvoir de vote au Fonds monétaire international et la Banque mondiale puisqu'ils y possèdent 18% du total des votes. Cette vision des choses ne correspond pas à la réalité et l'exemple suivant, emprunté à Demange, permet de s'en convaincre. Dans le cas d'une assemblée tripartite, constituée d'un petit parti disposant de 6% des sièges et de deux grands partis réunissant 47% des sièges, on a deux situations:

si des décisions sont prises à la majorité (simple) des votes, alors le petit parti a a priori autant de pouvoir que les autres (puisqu'il a la même capacité que les deux autres à former une majorité);
si en revanche, le seuil de décision est fixé à 2/3, le petit parti perd tout pouvoir (puisqu'une décision ne peut-être prise qu'avec l'accord des deux grands partis).

La réalité du pouvoir de décision, c'est-à-dire la capacité d'influencer l'issue d'un vote, dépend ainsi de deux choses:

la répartition complète des poids (la donnée du seul poids d'un électeur ne suffit pas à déterminer son pouvoir),
la règle de vote.

La question est alors la suivante: Comment peut se traduire de manière numérique la réalité des rapports de force au sein d'un processus de décision collective? Une tentative de réponse est apporté par les indices de pouvoir. Leur intérêt est double:

ils sont en mesure d'analyser la répartition du pouvoir de vote entre les différents membres d'un processus de décision collective (d'où leur utilisation intensive dans l'étude du pouvoir au coeur de différents parlements nationaux ou institutions internationales, selon la règle de vote employée);
ils permettent de mesurer l'impact d'un changement dans les règles de décisions sur le pouvoir des différents membres d'une assemblée (cette utilisation prospective pouvant aider à choisir les mécanismes vérifiant certains principes d'équité comme le fait que le pouvoir des intervenants soit proportionnel à leur poids).

On peut donc se servir des indices de pouvoir aussi bien dans un but normatif qu'à des fins positives ou descriptives.

Historique

Le premier indice de pouvoir défini de manière formelle est celui de Shapley et Shubik. Durant vingt ans les débats se sont principalement focalisés sur l'analyse et la comparaison de cet indice et de son principal concurrent apparu quelques années après et attribué à Banzhaf. Au cours des vingt cinq années suivantes, et plus particulièrement les dix dernières, la littérature sur les indices a été considérablement entendu et remodelé. Tout d'abord un grand nombre d'indices ont été créés au cours de cette période. Ensuite les approches ont été diversifiées et les auteurs plus nombreux, permettant d'enrichir le débat comme en témoignent les deux ouvrages de Felsenthal et Machover et de Holler et Owen. Cette évolution a été particulièrement sensible en Europe où le l'organe principal de décision de l'Union, le Conseil des Ministres, utilise une règle de vote pondéré: les problèmes de pondération posés par les élargissement successifs de 1995 et 2004 ont généré un grand nombre d'articles et relancé l'intérêt des chercheurs, et des politiques, pour l'analyse du pouvoir de vote.

Définitions, exemples et notations

L'étude du pouvoir de vote a été réalisée, pour la majeure partie, en se fondant sur la théorie des jeux coopératifs. Ce sont donc les notions et les outils de ce théorie qu'utilisent les indices de pouvoir. Le but de cette partie est de d'expliquer les notations employées et présenter les éléments de théorie des jeux qui seront utiles.

Définition d'un jeu de vote

Un jeu de vote (ou jeu de contrôle) est un couple (N,v) où N={1,...,i,...,n} représente l'ensemble des "joueurs" (ici les votants) et v une valeur appartenant à {0,1} telle qu'à chaque groupe d'individus on associe à chaque fois un nombre.

Définition d'une coalition gagnante

Une coalition S est dite gagnante si v(S)=1 et perdante si v(S)=0. On note s le nombre de joueurs dans S, G**i(v) l'ensemble des coalitions gagnantes et G**i(v) l'ensemble des coalitions gagnantes contenant le joueur i.
Remarque n°1: Si l'on considère l'ensemble des joueurs comme un ensemble d'individus prenant part à un processus de décision collective, on peut généralement modéliser ce processus par un jeu de vote. Un coalition gagnante est alors définie comme un ensemble de votants tels que s'ils votent à l'unanimité pour une proposition, celle-ci est adoptée. On peut définir cette coalition comme une majorité généralisée.
Remarque n°2: La valeur v indique alors le statut de chaque coalition et par conséquent autorise la formalisation du processus de décision collective. Dans cette configuration l'abstention est exclue: devant une proposition, le joueur n'a le choix de voter qu'entre "oui" et "non".

Définition d'un joueur décisif

Un individu i est dit décisif pour une coalition gagnante S si le retrait de ce participant rend la coalition S perdante, c'est-à-dire si v(S) = 1 et v(S\{i})=0. On note d(S) le nombre de joueurs décisifs dans la coalition S, D**i(v) l'ensemble des coalitions pour lesquelles le joueur i est décisif.

Définition d'une coalition minimale gagnante

Une coalition est dite minimale gagnante si c'est une coalition gagnante dont tous les joueurs sont décisifs. On note M(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale (c'est-à-dire où chaque individu est décisif) et M**i(v) l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale auquel le joueuri appartient.

Définition d'un jeu monotone

Un jeux de vote remplissant la condition suivante:

S ⩽ T, v (S) = 1 \Rightarrow v (T) = 1

est alors dit monotone.

Définition d'un jeu pondéré

Un jeux simple est dit pondéré si il existe un quota q et un poids w**i > 0 pour chaque joueur tel que:

v(S) = 1 si $\sum_{i \in S} w i \geq q$
0 sinon

Le jeux se note [q; w1,...,w**n]

Exemple n°1

Le jeu de vote pour la Communauté Européenne en 1952 s'écrit:

[9;4,4,4,2,2,1]

Définition d'un jeu propre

Un jeux simple est supposé propre si pour une coalition gagnante, le complémentaire de celle-ci est perdant:

S \in G (v) \Rightarrow N - S \neq \in G (v)

Définition d'un jeu fort

Un jeux simple est supposé fort si:

S \neq \in G (v) \Rightarrow N - S \in G (v)

Remarque: Cette condition est plus contraignante que celle de la définition n°7. En effet un jeu pondéré est propre si q > w / 2, avec:

w = i \in S \sum w i

Si l'on suppose w impaire, un jeu pondéré est fort si q = (w + 1) / 2.

Exemple n°2

Voici un jeux important à quatre joueurs, où les calculs sont élémentaires, qui sert de référence:
On a un quota de 3 et le jeux suivant: [3;2,1,1,1].
On a quatre individus a, b, c et d, où a dispose d'un poids de 2 et les trois autres d'un poids de 1.
On peut écrire les coalitions gagnantes dans le tableau suivant:
Tableau n°1

Coalitions gagnantes	a	b	c	d	d(S) = nombre de joueurs décisifs	s = taille de la coalition
a,b	1	1	0	0	2	2
a,c	1	0	1	0	2	2
a,d	1	0	0	1	2	2
a,b,c	1	0	0	0	1	3
a,b,d	1	0	0	0	1	3
a,c,d	1	0	0	0	1	3
b,c,d	0	1	1	1	3	3
a,b,c,d	0	0	0	0	0	4

On peut ensuite écrire le tableau des coalitions minimales gagnantes:
Tableau n°2

Coalitions gagnantes	a	b	c	d	d(S) = nombre de joueurs décisifs	s = taille de la coalition
a,b	1	1	0	0	2	2
a,c	1	0	1	0	2	2
a,d	1	0	0	1	2	2
b,c,d	0	1	1	1	3	3

Neuf indices de pouvoirs

La liste des indices suivante est non exhaustive, ne comprend pas certaines mesures trop similaires des indices présentés et ne recense pas les indices mesurant la satisfaction (plutôt que le pouvoir des votants).

Indice de Shapley-Shubick

Le premier indice de pouvoir est celui de Shapley-Shubik et il a été formulée par Lloyd Shapley et Martin Shubik en 1954. Il s'agit à l'origine de la Valeur de Shapley un concept de Théorie des jeux construit pour être appliqué aux jeux sous forme de fonction caractérisant la classe des jeux simples. Shapley et Shubik l'ont proposé comme une mesure de pouvoir a priori dans un processus de vote.
Principe: On considère un groupe d'individus votant l'amendement d'une loi selon la procédure qui suit:

ils votent chacun leur tour;
dès qu'une majorité est atteinte, l'individu qui a voté en dernier reçoit une "unité de pouvoir" (puisque l'amendement est passé grâce à sa voix).

Remarque n°1: L'invidu en question est décisif dans la coalition formée par lui-même et tous ceux qui le précèdent.

Idée de l'indice: Si l'on suppose que l'ordre dans lequel les individus prennent part au vote est déterminé de manière aléatoire et équiprobable, on peut déterminer le nombre moyen de fois où individu donné est décisif.

Formulation mathématique: L'indice de Shapley-Shubick pour le joeur i:

S S i (v) = i \in S \geq N \sum \frac{( s - 1 )! ( n - s )!}{n !} [v (S) - v (S - i)]

où n! donne tous les ordres de passage possibles et v(S)-v(S-{i}) permet de repérer les fois où l'individu i est décisif.

Remarque n°2: Cette expression revient à diviser le nombre de permutations des joueurs pour lesquelles le joueur i est décisif par le nombre total de permutations possibles.

Remarque n°3: Comme toutes permutation comprend un et seul joueur décisif, cela implique que l'on a:

i \in S \geq N \sum S S i (v) = 1

En appliquant le principe de calcul de l'indice avec le tableau n°1, on obtient:

$S S a (v) = (3 \times \frac{( 2 - 1 )! \times ( 4 - 2 )!}{24}) + (3 \times \frac{( 3 - 1 )! \times ( 4 - 3 )!}{24}) = \frac{6}{24} + \frac{6}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
$S S b (v) = S S c (v) = S S d (v) = \frac{1}{6}$

Indice de Banzhaf

John Francis Banzhaf III a proposé un indice qui diffère peu de celui de Shapley-Shubik. Son objectif était d'aider à résoudre certains débats juridiques concernant les normes d'équité constitutionnelles pour les systèmes de représentation électorale (Banzhaf voulait prouver objectivement que le système de vote au Conseil du Comté de Nassau était injuste). Banzhaf considère, comme Shapley et Shubik, que la mesure du pouvoir du joueur i doit dépendre du nombre de fois où il est décisif.

Toutefois le processus de décision de Banzhaf n'est pas séquentiel (il ne considérait pas qu'il fallait, comme dans le cas de Shapley-Shubik, un ordre d'arrivé): les coalitions votent bloc. Par conséquent le "score" de Banzhaf du joueur i est le nombre de coalitions possibles (et non le nombre de permutations possibles) pour lesquels i est décisif.

Le fonctionnement de l'indice de Banzhaf est très simple: on regarde le nombre de fois où un joueur est décisif et on divise par le nombre de fois où tous les joueurs sont décisifs.

Indice normalisé de Banzhaf: Pour un jeu (N,v) l'indice normalisé de Banzhaf du joueur i est défini par:

B i (v) = \frac{d i ( v )}{\sum _{j \in S \geq N} d j ( v )}

En reprenant à nouveau l'exemple 2, on observe que les joueurs sont décisifs 12 fois (la somme des 1 du tableau n°1 vaut 12), et d'où:

a = 6 fois décisifs $\to$ $B a = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
b = c = d = 2 fois décisifs $\to$ $B i = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}, \forall i = b, c, d$

Dubey et Shapley ont proposé une autre pondération du score de Banzhaf.
Indice de Banzhaf non normalisé: Pour un jeu (N,v) l'indice non normalisé de Banzhaf du joueur i est défini par:

B ni (v) = \frac{d i ( v )}{2 ^{n - 1}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}} \times i \in S \geq N \sum [v (S) - v (S - i)]

où le 2 est le nombre de coalition auquel appartient i.
Remarque n°1:Cette formulation de l'indice Banzhaf, que Dubey et Shapley justifient par des arguments probabilistes est la plus utilisée dans la littérature.
Remarque n°2: L'indice normalisé de Banzhaf est souvent associé au nom de Coleman et l'indice non normalisé trouve son origine dans les travaux de Penrose.

En reprenant l'exemple n°2, on a:

$B na = \frac{3}{4}$
$B ni = \frac{1}{4}, \forall i = b, c, d$

Indice de Johnston

Johnstion propose une modification de la pondération de l'indice de Banzhaf, en considérant que la mesure du pouvoir devrait dépendre du nombre de joueurs décisifs dans une coalition donnée. L'idée est que moins il y a de joueurs décisifs dans une coalition plus le pouvoir d'un seul joueur décisif sera fort.

Dans un jeu (N,v), le score de Johnston du joueur i est défini par:

S J i (v) = j \in D i (v) \sum \frac{( v ( S ) - v ( S - i ))}{d s}

où ds est le nombre de pivôt dans la coalition.

Indice de Johnston: Pour un jeu (N,v), l'indice de Johnston du joueur i est:

J i (v) = \frac{S J i ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} S J j ( v )}

En reprenant l'exemple n°2, on a:

$S J a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 + 1 + 1 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$
$S J i = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}, \forall i = b, c, d$

D'où: $\sum_{j = 1}^{n} S J j (v) = \frac{9}{2} + \frac{15}{6} = \frac{42}{6}$

Et on obtient alors:

$J a = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{42}{6}} = \frac{27}{42}$
$J i = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{42}{6}} = \frac{5}{42}, \forall i = b, c, d$

Indice de Deegan-Packel

Deegan et Packel ont proposé un indice de pouvoir basé sur le principe de taille de Riker. Ce principe revient à considérer que seules se forment les coalitions minimales gagnantes. L'indice de Deegan-Packel est obtenu en supposant que seules les coalitions minimales gagnantes se forment de manière équiprobable et que chaque joueur d'une coalition minimale gagnante reçoit un "montant de pouvoir" inversement proportionnel à la taille de cette coalition.

Indice de Deegan-Packel: Pour un jeu (N,v), l'indice de Deegan-Packel du joueur i est:

D P i (v) = \frac{\sum _{i \in S \in M (v)} \frac{( v ( S ) - v ( S - i ))}{s}}{m ( v )} = \frac{\sum _{S \in M i (v)} \frac{1}{s}}{m ( v )} = \frac{1}{m ( v )} \times S \in M i (v) \sum \frac{1}{s}

Ici:

m(v) est le nombre de coalitions minimales gagnantes,
M(v) la coalition minimale gagnante,
v(S)-v(S-{i}) indique lorsque i est pivot ( $\neq = 0$ ).

En reprenant l'exemple n°2, à partir du tableau n°2 (vu que l'on se sert de coalitions minimales gagnantes), on a:

$D P a = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$
$D P i = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{5}{24}, \forall i = b, c, d$

Indice de Hollard-Packel

Hollard et Packel ont proposé une modification de l'indice de Deegan-Packel en supposant que tous les joueurs d'une coalition minimale gagnante reçoivent le même montant de pouvoir quel que soit la taille de la coalition. Il s'agit d'une redéfinition de l'indice de Deegan-Packel afin de prendre en compte les situations où la valeur associée à une coalition gagnante correspond à un bien collectif dont tout les membres de la coalition peuvent profiter sans exclusion ni rivalité (et non a un bien privée divisible): quand on prend une m(v), tout le monde a le même pouvoir (considéré comme un bien public non divisible).

Dans un jeu (N,v), le score de Hollard-Packel du joueur i est:

S H P i (v) = \frac{1}{m ( v )} \times i \in S \in M (v) \sum (v (S) - v (S - i)) = \frac{mi ( v )}{m ( v )}

Indice de Hollard-Packel: Pour un jeu (N,v), l'indice de Hollard-Packel du joueur i est:

H P i (v) = \frac{S H P i ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} S H P j ( v )} = \frac{mi ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} mj ( v )}

En reprenant l'exemple n°2, on obtient:

$S H P a = \frac{3}{4}$
$S H P i = \frac{2}{4}, \forall i = b, c, d$

D'où:

$\sum_{j = 1}^{n} S H P j (v) = \frac{3}{4} + 3 \times \frac{2}{4} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}$

Et:

$H P a = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{3}$
$H P i = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{2}{9}, \forall i = b, c, d$

Indice de Curiel

Un nouvel indice, fondé sur le principe de taille de Riker(comme les indices de Deegan-Packel et Hollard-Packel), est proposé par Curiel. Dans cet indice, Curiel relâche l'hypotèse, bien qu'implicite, d'équiprobabilité d'occurrence ou de formation des coalitions minimales gagnantes. Curiel associe à chaque coalition $S \subset N$ , $S \neq = \emptyset$ un poids r**s > 0 qui représente une de la probabilité d'occurrence de la coalition S. Pour un ensemble de coalition C, on note $\sum_{S \in C} r s$ par r(C). Pour tout jeu simple (N,v) et toute coalition $S \in 2^{N}$ , la probabilité d'occurrence de la coalition S, ps(v), est définie par :

p**s(v) = 0 si $S \neq \in M (v)$ ,
$p s (v) = \frac{r s}{r ( M ( v ))}$ si $S \in M (v)$

Pour toute coalition S:

p**s(v) = 0,
$p (M (v)) = \sum_{S \in M (v)} p s (v) = 1$

Dans un jeu (N,v), le score du Curiel du joueur i est:

δ i (v) = S \in M i (v) \sum p s (v)

Indice de Curiel: Pour un jeu (N,v), l'indice de Curiel du joueur i est:

Δ i (v) = \frac{δ i ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} δ j ( v )}

Remarque n°1: L'indice ne peut se calculer sans connaître les poids rs.
Remarque n°2: La première distribution de poids suggérée par Curiel revient à supposer l'équiprobabilité d'occurrence des coalitions minimales gagnantes. Dans ce cas l'indice de Curiel coïncide avec celui de Hollard-Packel.
Remarque n°3: Une seconde distribution de poids consiste à supposer que la probabilité d'occurrence d'une coalition est inversement proportionnelle à sa taille. Dans ce cas l'indice de Curiel est identique à celui de Deegan-Packel.

Indice de Colomer-Martinez

Un nouvel indice de pouvoir, également fondé sur le principe de taille de Riker, est proposé par Colomer et Martinez.
Ces derniers défendent l'idée selon laquelle un indice de pouvoir, dans le cadre bien défini de la genèse d'une coalition gouvernementale, à deux fonctions:

estimer la capacité d'un parti à faire basculer le résultat d'un vote,
mesurer le pouvoir de ce parti au sein des coalitions auxquelles il appartient.

Pour un jeu simple pondéré v:[q;w1,...,w**n], l'indice de Colomer-Martinez du joueur i est:

C M i (v) = \frac{\sum _{S \in M i (v)} w i}{\sum _{S \in M} \sum _{j \in S} w j} = \frac{w imi ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} w j mj ( v )}

En reprenant l'exemple n°2, on obtient:

$C M a (v) = \frac{1}{2}$
$C M i (v) = \frac{1}{6}, \forall i = b, c, d$

Indice d'Andjiga-Berg

Deux chercheurs, Andjiga en 1996 et Berg en 1999, ont ,indépendamment l'un de l'autre, proposé un indice reposant sur les deux principes suivant:

Seules les coalitions gagnantes peuvent se former et ce de manière équiprobable.
Dans une coalition S un joueur i obtient une fraction de pouvoir qui est inversement proportionnelle à la taille de la coalition S tant que le joueur i est décisif dans S.

Le score d'Andjiga-Berg du joueur i est donné par:

S A B i (v) = \frac{1}{g ( v )} \times S \in G i (v) \sum \frac{1}{s} \times [v (S) - v (S - I)]

où g(v) désigne le nombre de coalitions gagnantes.
L'indice d'Andjiga-Berg du joueur i est:

A B i (v) = \frac{S A B i ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} S A B j ( v )}

En reprenant l'exemple n°2, on obtient:

$A B a (v) = \frac{1}{2}$
$A B i (v) = \frac{1}{6}, \forall i = b, c, d$

Indice de Chakravarty

Chakravarty a proposé en 2000 ce dernier indice en suggèrant que le pouvoir absolu d'un joueur i, dans le cadre des jeux pondérés, peut être mesuré par le nombre de fois où il est décisif, pondéré par son poids w**i.
La fraction de pouvoir absolu total qu'un joueur possède définit donc son pouvoir.
Remarque: La justification donné par l'auteur est principalement d'ordre théorique vu qu'il s'agit pour lui de proposer une sophistication de l'indice normalisé de Banzhaf B**i(v) dotée de "bonnes" propriétés, que ne possède pas l'indice d'origine.
L'indice de Chakravarty du joueur i dans le jeu v:[q;w1,...,w**n] est donné par:

C i (v) = \frac{w i d i ( v )}{\sum _{j = 1}^{n} w j d j ( v )}

En reprenant l'exemple n°2, on obtient:

$C a (v) = \frac{2}{3}$
$C i (v) = \frac{1}{9}, \forall i = b, c, d$

Éléments de comparaison

Le Conseil de l'Europe en 1958

Au Conseil de l'Europe en 1958 six pays étaient représentés. Le tableau suivant indique la répartition des sièges entre les pays:

Tableau n°3: Répartition des sièges au Conseil de l'Europe en 1958

Allemagne	France	Italie	Belgique	Pays-Bas	Luxembourg
4	4	4	2	2	1

A l'époque la majotité était fixé à 12 voix. On a donc le jeux suivant: [12;4,4,4,2,2,1].
Certains pays ayant le même nombre de sièges (Allemagne, France et Italie), on les regroupe plus plus de facilité. On a donc trois groupes:

J1 = {Allemagne, France et Italie}
J2 = {Belgique et Pays-Bas}
J3 = {Luxembourg}

On donc le tableau de résultats suivant:
Tableau n°4: Résultats des indices pour le Conseil de l'Europe en 1958

Indice	J1 (4)	J2 (2)
SS	23,33	15
B	23,81	14,29
J	25	12,5
DP	20,83	18,75
HP	20	20

On rappelle que dans ce tableau SS = Shapley-Shubik, B = Banzhaf, J = Jonhston, DP = Deegan-Packel et HP = Hollard-Packel.

Remarque n°1: On constate que l'indice de Hollard-Packel accorde le même pouvoir au groupe J1 et J2. On constate que le Luxembourg, quel que soit l'indice, n'a aucun pouvoir.

Si maintenant on change la majorité, on remplace 12 par 9, on obtient le jeu [9;4,4,4,2,2,1]. On conserve tous les autres paramètres.On donc le tableau de résultats suivant:
Tableau n°5: Résultats des indices pour le Conseil de l'Europe en 1958 avec une majorité à 9 voix

Indice	J1 (4)	J2 (2)	J3 (1)
SS	23,33	10	10
B	23,33	10	10
J	25,38	7,95	7,95
DP	19,87	13,46	13,46
HP	19,05	14,29	14,29

Remarque n°2: On constate que tous les indices le même pouvoir au groupe J2 et J3. On constate que l'abaissement de la majorité à laissé le pouvoir du groupe J1 quasi inchangé, tandis que le groupe J2 a perdu jusqu'à un tiers de son pouvoirs.

Le Conseil de L'Europe en 1995

Au Conseil de l'Europe en 1995, quinze pays étaient représentés. Il y avait 87 voix à partager. Le tableau suivant indique la répartition des sièges entre les pays:

Tableau n°6: Répartition des sièges au Conseil de l'Europe en 1995

Allemagne	France	Grande-Bretagne	Italie	Espagne	Belgique	Grèce	Pays-Bas	Portugal	Suède	Autriche	Danemark	Finlande	Irlande	Luxembourg
10	10	10	10	8	5	5	5	5	4	4	3	3	3	2

A l'époque la majotité était fixé à 62 voix. On a donc le jeux suivant: [62;10,10,10,10,8,5,5,5,5,4,4,3,3,3,2].
Certains pays ayant le même nombre de sièges (Allemagne, France et Italie), on les regroupe pour plus de facilité. On a donc trois groupes:

J1 = {Allemagne, France, Grande-Bretagne et Italie}
J2 = {Espagne}
J3 = {Belgique, Grèce et Pays-Bas, Portugal}
J4 = {Autriche et Suède}
J5 = {Danemark, Finlande et Irlande}
J6 = {Luxembourg}

On donc le tableau de résultats suivant:
Tableau n°7: Résultats des indices pour le Conseil de l'Europe en 1995

Indice	J1 (10)	J2 (8)	J3 (5)	J4 (4)	J5 (3)	J6 (2)
SS	11,67	9,55	5,52	4,54	3,53	2,07
B	11,16	9,24	5,87	4,79	3,59	2,26
J	13,30	10,01	4,90	3,77	2,67	1,67
DP	8,22	7,51	6,47	6,08	5,72	4,4
HP	8,09	7,43	6,5	6,13	5,82	4,5

On rappelle que dans ce tableau SS = Shapley-Shubik, B = Banzhaf, J = Jonhston, DP = Deegan-Packel et HP = Hollard-Packel.

Remarque n°3: On constate que les indices de Deegan-Packel et de Hollard-Packel accordent des pouvoirs similaires aux groupes J3 et J4.

Si maintenant on change la majorité, on remplace 62 par 44, on obtient le jeu [44;10,10,10,10,8,5,5,5,5,4,4,3,3,3,2]. On conserve tous les autres paramètres.

On a donc le tableau de résultats suivant:
Tableau n°8: Résultats des indices pour le Conseil de l'Europe en 1995 avec une majorité à 44 voix

Indice	J1 (10)	J2 (8)	J3 (5)	J4 (4)	J5 (3)	J6 (2)
SS	11,83	9,17	5,56	4,64	3,26	2,18
B	11,72	9,14	5,61	4,68	3,32	2,20
J	14,84	9,83	4,15	3,24	2,12	1,37
DP	7,32	7,30	6,74	6,54	6,17	4,86
HP	7,03	7,12	6,81	6,65	6,39	5,09

Remarque n°4: On constate que l'indice de Hollard-Packel accorde un pouvoir supérieur au groupe J2 qu'au groupe J1.

Postulats et paradoxes

Paradoxe de la monotonie

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,w**n). L'indice α est sujet au paradoxe de la monotonie si il existe deux joueurs i et j tels que:

w**i > w**j et αi(v) < αj(v)

Exemple n°6: HP dans le tableau n°8

Paradoxe du transfert

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,w**n) et (N',v') un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1',...,w**n') tels que: $\sum_{j = 1}^{n} w j = \sum_{j = 1}^{n} w j^{'}$ .
Supposons qu'il existe i vérifiant pour tout $i \neq = j$ , que $w j^{'} \geq w j$ (par conséquent w**i' < w**i).
L'indice α est sujet au paradoxe du transfert si :αi(v') > αi(v).

Exemple n°7: Soit les jeux [8;5,3,1,1,1] et [8;4,4,1,1,1]. Ils ne diffèrent que par la différence de poids entre les deux premiers joueurs: dans le premier jeu le joueur n°1 a un poids de 5 et le joueur n°2 un poids de 3, alors que dans le second jeu les deux joueurs ont un poids de 4.

Les deux tableaux suivants donnent les résultats des combinaisons gagnantes des jeux:
Tableau n°9: Les coalitions minimales gagnantes du premier jeu

Coalitions minimales gagnantes	1	2	3	4	5	d(S)	s
1,2	1	1	0	0	0	2	2
1,3,4,5	1	0	1	1	1	4	4

Tableau n°10: Les coalitions minimales gagnantes du second jeu

Coalitions minimales gagnantes	1	2	3	4	5	d(S)	s
1,2	1	1	0	0	0	2	2

Avec l'indice de Deegan-Packel on obtient les résultats suivants:
Tableau n°11: Les résultats pour l'indice de Deegan-Packel des deux jeux

Joueur	Jeux n°1	Jeux n°2
1	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$
2	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
3	$\frac{1}{8}$	0
4	$\frac{1}{8}$	0
5	$\frac{1}{8}$	0

Paradoxe du bloc

Soit (N,v) un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (w1,...,w**n) et ((N\j),v') un nouveau jeu de vote le même quota q et une distribution de poids (w1',..., w**j − 1', w**j + 1',...,w**n') tels que pour tout $k \neq = i, j$ , w**k' = w**k et w**i' = w**i + w**j.
L'indice α est sujet au paradoxe du bloc si :αj(v) > 0 et α'i(v') < αi(v).

Exemple n°8: Soit les jeux [25;9,9,7,1,1,1,1,1,1,1] et [25;10,9,7,1,1,1,1,1,1]. Ils ne diffèrent que le transfert du poids du dernier joueur du jeux n°1 sur celui du premier joueur du jeux n°2:

$9 \to 10$
$1 \to 0$

On passe donc d'un jeu à dix joueurs à un jeu à neuf joueurs.
On peut aussi regrouper les joueurs ayant même poids.
On a donc pour le jeu n°1:

J1 $\to$ {Les joueurs ayant un poids de 9}
J2 $\to$ {Le joueur ayant un poids de 7}
J3 $\to$ {Les joueurs ayant un poids de 1}

On a donc pour le jeu n°2:

J1 $\to$ {Le joueur ayant un poids de 10}
J2 $\to$ {Le joueur ayant un poids de 9}
J3 $\to$ {Le joueur ayant un poids de 7}
J4 $\to$ {Les joueurs ayant un poids de 1}

On observe ce paradoxe avec l'indice de Banzhaf dans les tableaux suivant:
Tableau n°12: Les résultats pour le jeu n°1

Indice	A	B	C
Banzhaf	0,329	$\frac{127}{392}$	$\frac{1}{392}$

Tableau n°13: Les résultats pour le jeu n°2

Indice	A	B	C	D
Banzhaf	0,327	0,327	$\frac{63}{199}$	$\frac{1}{199}$

Remarque n°5: Alors qu'on a augmenté son poids de 1, le premier joueur a non seulement le même pouvoir que le second joueur, qui lui a un poids de 9, mais en plus il a perdu du pouvoir par rapport à la configuration antérieur.

Tableau résumant les paradoxes

Tableau n°14: Les paradoxes en fonction des indices

Indices	Bloc	Monotone	Transfert
Shapley-Shubik	oui	oui	oui
Banzhaf non normalisé	oui	oui	oui
Banzhaf	non	oui	non
Johnston	non	oui	non
Deegan-Packel	non	non	non
Hollard-Packel	non	non	non

Interprétation probabiliste des indices de pouvoirs

L'intuition d'Owen et Straffin repose sur l'idée que l'ordre de Shapley-Shubick est inadapté car il ne fonctionne pas dans la réalité.

Idée:
Repose sur la probabilité d'être pivôt. Le problème est de montrer qu'il s'agit d'une probabilité. C'est pourquoi Straffin a créé un vecteur d'acceptabilité (P1,...,P**n) avec P**i: la probabilité que i dise oui $\to$ on va mettre des hypothèses sur les probabilités:

Indépendance : chaque P**i est choisit indépendant dans une uniforme [0,1].
Homogénéité : on tire un chiffre au hasard entre 0 et 1, P et tout le monde à la même.

On note αi la probabilité que l'individu i soit pivôt.

Proposition: La probabilité αi est égale à B**i, pouvoir de Banzhaf, sous l'hypothèse d'indépendance et à SSI, pouvoir de Shapley-Shubik, sous l'hypothèse d'homogénéité.

La démonstration de cette proposition repose sur le calcul de la probabilité que tous les individu sauf i qui se trouvent dans une coalition gagnante et votent oui, les autres non, et que l'individu i soit pivôt (hors coalition).