Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble compris entre deux valeurs. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir aux définitions suivantes.

Inventaire

Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2,a<b$):

• $\{x\in \mathbb{R};a<x<b\}=]a;b[$
• $\{x\in \mathbb{R};a\le x\le b\}=[a;b]$
• $\{x\in \mathbb{R};a<x\le b\}=]a;b]$
• $\{x\in \mathbb{R};a\le x<b\}=[a;b[$

Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.

À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :

• $\left\{x\in \mathbb{R};x<a\right\}=]-\infty ;a[$
• $\left\{x\in \mathbb{R};x\le a\right\}=]-\infty ;a]$
• $\left\{x\in \mathbb{R};x>a\right\}=]a;+\infty [$
• $\left\{x\in \mathbb{R};x\ge a\right\}=[a;+\infty [$

Auxquels se sont ajoutés, pour faire bonne mesure, les intervalles :

• L'ensemble vide $\varnothing$
• $\left\{a\right\}=[a;a]$
• $\mathbb{R}=]-\infty ;+\infty [$

Définition générale

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est une partie $I$ de $\mathbb{R}$ vérifiant la propriété suivante:

Pour tout x et y de $I$, pour tout réel z, si $x\le z\le y$ alors $z\in I$

Un ensemble vérifiant une telle propriété est un ensemble convexe.

Les intervalles de $\mathbb{R}$ regroupent donc toutes les parties convexes de $\mathbb{R}$.

Union et intersection d'intervalles de R

Une intersection d'intervalles de R est toujours un intervalle. L'intervalle qui découle d'une intersection d'intervalles est composé des éléments (les nombres) qui sont présents à la fois dans le premier intervalle et dans le second intervalle. Par exemple,

• $[-3;5[\cap ]-\infty ;2]=[-3;2]$
• $[-3;5[\cap [2;+\infty [=[2;5[$
• $[3;5[\cap ]-\infty ;2]=\varnothing$

Une union d'intervalles de R n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de "trou"). L'intervalle qui découle d'une union d'intervalles est composé des éléments (les nombres) allant de la borne inférieure du premier intervalle à la borne supérieure du deuxième intervalle. Par exemple,

• $]-\infty ;2]\cup [-3;5[=]-\infty ;5[$
• $[-3;5[\cup [2;+\infty [=[-3;+\infty [$
• $[3;5[\cup ]-\infty ;2]=]-\infty ;2]\cup [3;5[$ (On préfère ranger les intervalles par ordre croissant de leurs bornes.)

Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.

Connexité

Les parties connexes de $\mathbb{R}$ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.

Décomposition des ouverts de R

On montre que tout ouvert de $\mathbb{R}$ peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts.

Les intervalles sont les parties de $\mathbb{R}$ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivée.

On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :

• L'image par une fonction continue d'un intervalle de $\mathbb{R}$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ (théorème des valeurs intermédiaires)
• Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
• Une fonction dérivable est monotone sur un intervalle si et seulement si sa dérivée garde un signe constant sur cet intervalle

Remarque : La fonction $f:{\mathbb{R}}_{\ast }\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{|x|}{x}$ est dérivable sur ${\mathbb{R}}_{\ast }$, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais $f$ n'est pas constante. Ceci tient au fait que ${\mathbb{R}}_{\ast }$ n'est pas un intervalle.

Dans tout ensemble $\S$ muni d'une relation d'ordre total $\le$, on peut définir des intervalles, de la même façon que dans $\mathbb{R}$, comme des ensembles des types suivants :

• $\left\{z\in S;a<z<b\right\}$, $\left\{z\in S;a\le z\le b\right\}$, $\left\{z\in S;a<z\le b\right\}$, $\left\{z\in S;a\le z<b\right\}$
• $\left\{z\in S;z<a\right\}$, $\left\{z\in S;z\le a\right\}$, $\left\{z\in S;z>a\right\}$, $\left\{z\in S;z\ge a\right\}$
• $\varnothing$, $S$

Il est donc tout à fait possible de définir dans $\mathbb{Z}$ l'intervalle des entiers relatifs compris entre $-5$ et $3$ mais il serait dangereux de le noter $[-5;3]$ sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de $\mathbb{R}$. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ? − 5;3? (Faire Ctrl-+ avec Firefox pour augmenter la taille des caractères ou choisir une grande police pour voir que la barre verticale est dédoublée).

Ces intervalles $I$ vérifient toujours la propriété :

Pour tous éléments $a,b$ de $I$, on a $[a;b]\subset I$ (convexité d'un intervalle) ,

ainsi que la propriété d'intersection : toute intersection d'intervalles est un intervalle.