Invariant de Runge Lenz

Dans le cas du mouvement keplerien, il existe, en plus l'énergie mécanique du moment cinétique, trois autres constantes du mouvement, regroupées sous la forme d'un vecteur appelé « vecteur invariant de Runge-Lenz », ou « vecteur excentricité » :

Ce vecteur, constant, vérifie entre autres e.L° = 0.

D'après le théorème de Noether, toute quantité conservée est équivalente à une symétrie du problème - cela implique une étude d'ordre théorique sur les groupes de symétrie SO(4) ou SO(3,1).

D'autre part, la contribution d'Hermann à sa découverte est un point d'histoire des sciences assez controversé.

La dégénérescence et l'existence de e sont liées à cette symétrie dite dynamique;

La dégénérescence de l'oscillateur harmonique est liée au fait que z->z² fait passer du mouvement de Hooke à celui de Kepler. En mécanique quantique, cela correspond aux formules de passage des polynômes d'Hermite aux polynômes de Laguerre.

En présence d'une force F° constante, le mouvement de l'oscillateur harmonique n'est que déplacé : il en résulte que dans le cas de Kepler la symétrie n'est pas tout à fait levée, et d'ailleurs le mouvement peut s'intégrer via les fonctions elliptiques, mais le nombre de bifurcations est assez étonnant : c'est l'effet Stark dit classique.

De même, il reste encore de la symétrie dans le cas de deux centres de force identiques fixes : le mouvement est encore intégrable.

Albouy et Chenciner ont travaillé l'historique de la redécouverte de ce vecteur excentricité, qui remonte apparemment à Hermann. Mais on ne sait pas si le problème cinématique suivant avait été résolu : un bateau navigue en laissant un phare F à babord, au cap 90° et donc décrit un cercle autour du phare, et son hodographe est un cercle. Mais avec un courant uniforme supplémentaire de valeur u inférieure à la vitesse V° du bateau, le bateau décrit une ellipse de foyer F : était-ce l'elliptoïde de Hooke ?

Au XVIII siècle, l'affaire est entendue, et Laplace utilise le vecteur excentricité pour des calculs de perturbations du mouvement de Kepler.