Frère aîné de Guillaume-Martin Couture, Joseph-Abel Couture fut l'élève de Le Carpentier (1709-1773) qu'il assista dans plusieurs de ses chantiers : le nouvel hôtel de ville de Rouen ; l'hôtel de Choiseul, rue de Richelieu ; le pavillon de Croix-Fontaine en forêt de Sénart pour le fermier général Étienne-Michel Bouret ; le château d'Ollwiller en Alsace pour la famille Waldner de Freundstein (1751).
Apprécié à Rouen par l'intendant Feydeau de Brou et le marquis de Berville, commandant en Normandie pour Sa Majesté, il fut chargé d'un certain nombre de constructions publiques comme la Romaine ou Douane du Havre, et fut également chargé des églises et des presbytères dans la généralité de Rouen.
« Si nous n'avons pas reconnu son œuvre entière, il est néanmoins, avec Verniquet, l'architecte du XVIII siècle dont nous connaissons le plus de châteaux. Ceux qui sont dispersés à travers la Normandie constituent un ensemble intéressant. »
En 1766, Le Carpentier recommanda Couture au fermier général Charles Legendre de Villemorien après qu'il eut acheté le château de Valençay. Il succéda à Le Carpentier comme architecte des Domaines et, à ce titre, fut en charge du Palais de Justice de Paris. Quand il fut question de le reconstruire après l'incendie de janvier 1776, plusieurs de ses confrères tentèrent de l'évincer, mais il fut chargé des aménagements intérieurs réalisés sous le règne de Louis XVI, à l'exception de la grande salle des avocats et des bâtiments de la cour du May. Comme architecte des Domaines, il rétablit les ponts du Pecq et de Chatou. Successeur de Laurent Lindet à la manufacture de Sèvres, il construisit le moulin et aménagea la salle de présentation des porcelaines.