Limites de référence

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Introduction

Analyse

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition $D$ donc si $a \in D$ , on a $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

$f : R \to R, x \mapsto λ$ avec $λ \in R$

x \to - \infty lim f (x) = x \to + \infty lim f (x) = λ

Monômes..

$f : R \to R, x \mapsto x^{n}$ , avec $n \in N^{*}$

En $+ \infty$ : $lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty$
En $- \infty$ :
- Pour n pair : $lim_{x \to - \infty} x^{n} = + \infty$
- Pour n impair : $lim_{x \to - \infty} x^{n} = - \infty$

..et leurs inverses

$f : R^{*} \to R, x \mapsto \frac{1}{x ^{n}}$ , avec $n \in N^{*}$

En $\pm \infty$ :

x \to - \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0

En $0$ les fonctions ne sont pas définies :
- Pour n pair :

x \to 0, x \neq = 0 lim \frac{1}{x ^{n}} = + \infty

- Pour n impair :

x \to 0, x < 0 lim \frac{1}{x ^{n}} = - \infty

x \to 0, x > 0 lim \frac{1}{x ^{n}} = + \infty

Polynômes

Les limites en $\pm \infty$ d'un polynôme $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ avec $a_{n} \neq = 0$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré $a_{n} x^{n}$ , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de $n$ et le signe de $a_{n}$ .

Monômes de puissance quelconque

Puissances positives :

$f : R_{+} \to R, x \mapsto x^{α}$ , avec $α > 0$

x \to + \infty lim x^{α} = + \infty

Cas particulier : $α = \frac{1}{2}$ donne $f (x) = x$ et :

x \to + \infty lim x = + \infty

Puissances négatives :

$f : R_{+}^{*} \to R, x \mapsto x^{α}$ , avec $α < 0$

x \to 0, x > O lim x^{α} = + \infty

x \to + \infty lim x^{α} = 0

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances

Logarithmes

Logarithme népérien (ou naturel) :

f : R_{+}^{*} \to R, x \mapsto ln (x)

x \to 0, x > O lim ln (x) = - \infty

x \to + \infty lim ln (x) = + \infty

Logarithme de base a

$f : R_{+}^{*} \to R, x \mapsto lo g_{a} (x) = \frac{l n ( x )}{l n ( a )}$ , avec $a > 0$

- Base a > 1 :

x \to 0, x > O lim lo g_{a} (x) = - \infty

x \to + \infty lim lo g_{a} (x) = + \infty

- Base a < 1 :

x \to 0, x > O lim lo g_{a} (x) = + \infty

x \to + \infty lim lo g_{a} (x) = - \infty

Exponentielle et puissance d'un réel positif

La fonction exponentielle

f : R \to R, x \mapsto exp (x) = e^{x}

x \to - \infty lim e^{x} = 0

x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

Puissance d'un nombre positif a

$f : R \to R, x \mapsto a^{x} = e^{x l n (a)}$ avec a > 0.

- Base a > 1 :

x \to - \infty lim a^{x} = 0

x \to + \infty lim a^{x} = + \infty

- Base a < 1 :

x \to - \infty lim a^{x} = + \infty

x \to + \infty lim a^{x} = 0

Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Fonctions trigonométriques

Tangente :

$f : R - (\frac{π}{2} + π Z) = ⋃_{k \in Z}] - \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π [\to R x \mapsto tan (x) = \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}$ .

Alors pour tout entier relatif $k \in Z$ :

x \to - \frac{π}{2} + k π, x > - \frac{π}{2} + k π lim tan (x) = - \infty

x \to + \frac{π}{2} + k π, x < + \frac{π}{2} + k π lim tan (x) = + \infty

Cotangente :

Alors pour tout entier relatif $k \in Z$ :

x \to k π, x > k π lim cot (x) = - \infty

x \to (k + 1) π, x < (k + 1) π lim cot (x) = + \infty

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques

Sinus hyperbolique :

f : R \to R, x \mapsto sh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

x \to - \infty lim sh (x) = - \infty

x \to + \infty lim sh (x) = + \infty

Cosinus hyperbolique :

f : R \to R, x \mapsto ch (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

x \to - \infty lim ch (x) = + \infty

x \to + \infty lim ch (x) = + \infty

Tangente hyperbolique :

f : R \to R, x \mapsto th (x) = \frac{sh ( x )}{ch ( x )}

x \to - \infty lim th (x) = - 1

x \to + \infty lim th (x) = 1

Fonctions réciproques

Arc tangente : operatorname{

f : R \to R, x \mapsto Arctan (x)

x \to - \infty lim Arctan (x) = - \frac{π}{2}

x \to + \infty lim Arctan (x) = \frac{π}{2}

Argument sinus hyperbolique :

f : R \to R, x \mapsto Argsh (x)

x \to + \infty lim Argsh (x) = + \infty

Argument cosinus hyperbolique :

f : [1, + \infty [\to R, x \mapsto Argch (x)

x \to + \infty lim Argch (x) = + \infty

Argument tangente hyperbolique :

f :] - 1, 1 [\to R, x \mapsto Argth (x)

x \to - 1 lim Argth (x) = - \infty

x \to 1 lim Argth (x) = + \infty

Suites usuelles

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

\forall n \in N, u_{n} = f (n)

ou alors définie par son premier terme $u_{0} \in R$ et une relation de récurrence :

\forall n \in N, u_{n + 1} = φ (u_{n})

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques

* Voir article détaillé : suite arithmétique $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r$

Dans ce cas $φ (x) = x + r$ et $r \in R$ est appelé la raison de la suite $u$ : on peut donner une expression directe de $u_{n}$ : $\forall n \in N, u_{n} = u_{0} + n r$ .

Si $r > 0$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = + \infty$
Si $r < 0$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = - \infty$

Suites géométriques

Voir article détaillé: suite géométrique

\forall n \in N, u_{n + 1} = q u_{n}

Dans ce cas $φ (x) = q x$ et $q \in R$ est encore appelé la raison de la suite $u$ : on peut donner une expression directe de $u_{n}$ : $\forall n \in N, u_{n} = q^{n} u_{0}$ .

Si $∣ q ∣ < 1$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = 0$
Si $q = 1$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = u_{0}$
Si $q > 1$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = + \infty$
Si $q < - 1$ alors $u$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

n \to + \infty lim (u_{2 n}) = + \infty

n \to + \infty lim (u_{2 n + 1}) = - \infty

Suites arithmético-géométriques

Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique

\forall n \in N, u_{n + 1} = q u_{n} + r

Dans ce cas $φ (x) = q x + r$ (avec $q \neq = 1$ ) et on peut donner une expression directe de $u_{n}$ : $\forall n \in N, u_{n} = q^{n} u_{0} + r \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .

Si $∣ q ∣ < 1$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = \frac{b}{1 - a}$
Si $q > 1$ on a : $lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = + \infty$
Si $q < - 1$ alors $u$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

n \to + \infty lim (u_{2 n}) = + \infty

n \to + \infty lim (u_{2 n + 1}) = - \infty

Suites homographiques

\forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{a u _{n} + b}{c u _{n} + d}

Dans ce cas $φ (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ (avec $c \neq = 0$ et $a d - b c \neq = 0$ ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de $u_{n}$ . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant $Δ = (a - d)^{2} + 4 b c$ de l'équation $φ (x) = x$ .

Si $Δ < 0$ la suite ne peut pas avoir de limite.
Si $Δ = 0$ la seule limite $ℓ$ possible est $\frac{a - d}{2 c}$ .
Si $Δ > 0$ les seules limites $ℓ$ possibles sont $\frac{a - d - Δ}{2 c}$ ou $\frac{a - d + Δ}{2 c}$ .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial $u_{0}$ la distance $∣ u_{n} - ℓ ∣$ pour chaque valeur éventuelle de $ℓ$ .