Arc tangente

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[. Elle est en général notée Arc tan en notation française, en remplacement de l'ancienne notation arctg. La notation anglo-saxonne s'écrit atan ou tan, bien que cette dernière puisse être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan).

Concrètement, si x appartient à ]-π/2 ; π/2[ et y appartient à $\mathbb{R}$ :

La courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arctan est dérivable et vérifie :

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente est :

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\ne \pm i$. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout $\mathbb{R}$.

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz

La formule de Machin, plus sophistiquée,

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

De arctan(⁄_x) on peut déduire Arctan(x) et inversement :

Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle.

Par définition, la fonction Arctan est la réciproque de la restriction de la fonction tan à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ :

Ainsi, pour tout réel x, tan(Arctan(x))=x. Mais l'équation Arctan(tan(y))=y n'est vérifiée que pour y compris entre -π/2 et π/2.

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :

Primitive

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est

Cette formule se démontre grâce à une intégration par parties.

Utilisation de la fonction arctangente

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

Si le discriminant D = b − 4a**c est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

qui donne pour l'expression à intégrer

L'intégrale est alors

Nous avons la formule suivante :