Loi de Fisher

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Introduction

Fisher-Snedecor


Paramètres	$d_{1} > 0, d_{2} > 0$ degré de liberté
Support	$x \in [0, + \infty [$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{\frac{( d _{1} x ) ^{d_{1}} d _{2}^{d_{2}}}{( d _{1} x + d _{2} ) ^{d_{1} + d_{2}}}}{x B ( \frac{d _{1}}{2} , \frac{d _{2}}{2} )}$
Fonction de répartition	$I_{\frac{d _{1} x}{d _{1} x + d _{2}}} (d_{1} /2, d_{2} /2)$
Espérance	$\frac{d _{2}}{d _{2} - 2}$ pour d₂ > 2
Mode	$\frac{d _{1} - 2}{d _{1}} \frac{d _{2}}{d _{2} + 2}$ pour d₁ > 2
Variance	$\frac{2 d _{2}^{2} ( d _{1} + d _{2} - 2 )}{d _{1} ( d _{2} - 2 ) ^{2} ( d _{2} - 4 )}$ pour d₂ > 4
Asymétrie (statistique)	$\frac{( 2 d _{1} + d _{2} - 2 ) 8 ( d _{2} - 4 )}{( d _{2} - 6 ) d _{1} ( d _{1} + d _{2} - 2 )}$ pour d₂ > 6
Kurtosis (non-normalisé)	voir texte

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George W. Snedecor. La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme par exemple les tests du ratio de vraisemblance ou encore dans l'analyse de la variance (F-test).

Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être définie comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, distribuées selon une loi du χ²:

\frac{U _{1} / d _{1}}{U _{2} / d _{2}}

avec U₁ et U₂ ayant respectivement d₁ et d₂ degrés de liberté.

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F(d₁, d₂), est donnée par

f (x) = \frac{( \frac{d _{1} x}{d _{1} x + d _{2}} ) ^{d_{1} /2} ( 1 - \frac{d _{1} x}{d _{1} x + d _{2}} ) ^{d_{2} /2}}{x B ( d _{1} /2 , d _{2} /2 )}

pour tout réel x ≥ 0, où d₁ et d₂ sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est $F (x) = I_{\frac{d _{1} x}{d _{1} x + d _{2}}} (d_{1} /2, d_{2} /2)$

où I est la fonction bêta incomplète régularisée.

L'espérance, la variance valent respectivement

\frac{d _{2}}{d _{2} - 2}

pour d₂ > 2 et

\frac{2 d _{2}^{2} ( d _{1} + d _{2} - 2 )}{d _{1} ( d _{2} - 2 ) ^{2} ( d _{2} - 4 )}

pour d₂ > 4. Pour d₂ > 8, le kurtosis est

\frac{20 d _{2} - 8 d _{2}^{2} + d _{2}^{3} + 44 d _{1} - 32 d _{1} d _{2} + A}{d _{1} ( d _{2} - 6 ) ( d _{2} - 8 ) ( d _{1} + d _{2} - 2 ) /12}

où $A = 5 d_{2}^{2} d_{1} - 22 d_{1}^{2} + 5 d_{2} d_{1}^{2} - 16.$

Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée.

Distributions associées et propriétés

Si $X \sim F (ν_{1}, ν_{2})$ alors $Y = lim_{ν_{2} \to \infty} ν_{1} X$ est distribuée selon une loi du χ² $χ_{ν_{1}}^{2}$ ;
La loi F(ν₁,ν₂) est équivalente à la loi T-square de Hotelling's $(ν_{1} (ν_{1} + ν_{2} - 1) / ν_{2}) T^{2} (ν_{1}, ν_{1} + ν_{2} - 1)$ ;
Si $X \sim F (ν_{1}, ν_{2}),$ alors $\frac{1}{X} \sim F (ν_{2}, ν_{1})$ ;
Si $X \sim t (ν)$ est distribuée selon une loi de Student alors $X^{2} \sim F (1, ν)$ ;
Si $X \sim F (ν_{1}, ν_{2})$ et $Y = \frac{ν _{1} X / ν _{2}}{1 + ν _{1} X / ν _{2}}$ alors $Y \sim Beta (ν_{1} /2, ν_{2} /2)$ est distribuée selon une loi bêta;
Si $Q_{X} (p)$ est le quantile d'ordre p pour $X \sim F (ν_{1}, ν_{2})$ et que $Q_{Y} (p)$ est le quantile d'ordre p pour $Y \sim F (ν_{2}, ν_{1})$ alors $Q_{X} (p) = 1/ Q_{Y} (p)$ .