Loi de Student

Loi de Student
Paramètres	k ≥ 1 degrés de liberté,
Support	$x\in ]-\infty ;+\infty [$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi }}\frac{\Gamma (\frac{k+1}{2})}{\Gamma (\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k}{)}^{\frac{k+1}{2}}}$
Fonction de répartition	1-γ = ƒ(tγ ), voir tableau en fin d'article
Espérance	si k = 1 : non définie si k > 1 : 0
Médiane (centre)	0
Mode	0
Variance	si k ≤ 2 : $+\infty$ si k > 2 : $\frac{k}{k-2}$
Asymétrie (statistique)	0 pour k > 3

La loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ².

Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ² à k degrés de liberté. Par définition la variable

suit une loi de Student à k degrés de liberté.

La densité de $T,$ notée $f_T,$ est donnée par :

$f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi }}\frac{\Gamma (\frac{k+1}{2})}{\Gamma (\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k}{)}^{\frac{k+1}{2}}},$ pour k ≥ 1.

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La densité associée à la variable est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.

Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.

Sa variance est infinie pour k ≤ 2 et vaut $\frac{k}{k-2}$ pour k > 2.

Le calcul de la distribution de Student a été publié en 1908 par William Gosset pendant qu'il travaillait à la brasserie Guinness à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de Student. Le test t et la théorie sont devenus célèbres grâce aux travaux de Ronald Fisher, qui a qualifié cette distribution de « distribution de Student ».

Lorsque k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.

Ce chapitre présente une méthode pour déterminer l'intervalle de confiance de l'estimateur de l’espérance μ d’une loi normale dont la variance σ² est inconnue.

Théorème — L'intervalle de confiance de μ au seuil de confiance α est donné par: ,

avec

$\overline{x}=\frac{1}{n}{\Sigma }_{i=1}^n{x}_i$, l'estimateur de l'espérance.

$S^2=\frac{1}{n-1}{\Sigma }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$, l'estimateur non-biaisé de la variance.

$t_{\gamma }^k$ le quantile d’ordre 1-γ de la loi de Student à k degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus).

• X˜t(k = 1) suit une Loi de Cauchy: $X\sim \mathrm{Cauchy}(0,1)$.
• $\mathrm{t}(k)\stackrel{\mathcal{L}}{\to }\mathcal{N}(0,1)$ La loi de Student converge en distribution vers la loi normale.
• Si $X\sim \mathrm{t}(k)$ suit une loi de Student alors X suit une loi de Fisher: $X^2\sim F({\nu }_1=1,{\nu }_2=k)$
• X˜t(k) a une distribution de Student si ${\sigma }^2\sim \text{Inv-}{\chi }^2(k,1)$ suit une loi du χ² inverse (en) et suit une loi normale.

Tableau des valeurs du quantile

Un tableau des valeurs du quantile en fonction de γ et k est fourni ci-dessous.

Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de k. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la loi normale centrée et réduite.