Tétraèdre

Tétraèdre
Type	Polyèdre
Faces	Triangle
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	4 6 4 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	3
Isométries	Td
Dual	Tétraèdre
Propriétés	convexe

Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un polyèdre composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, qui appartient en outre comme celles-ci à la famille des cônes.

Le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux, est l'un des cinq polyèdres réguliers, ou solides de Platon. C'est le seul d'entre eux à avoir quatre faces.

Le squelette du tétraèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe tétraédrique.

Un tétraèdre est dit orthocentrique lorsque ses quatre hauteurs sont concourantes. Le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.

Le tétraèdre est un simplexe de degré 3.

si B est la surface d'une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base

$V=\frac{1}{6}\left|det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\right|$ pour le tétraèdre construit sur A, B, C et D.

Si a est la longueur d'une arête :

• La surface est égale à : $A=\sqrt{3}{a}^2$
• La hauteur est égale à : $H=\sqrt{\frac{2}{3}}a$
• Le centre du tétraèdre est situé, par rapport à la base, à : $h=\frac{1}{4}H$
• Le volume est égal : $V=\frac{1}{12}\sqrt{2}{a}^3$
• La valeur de l'angle central du tétraèdre régulier (c’est-à-dire celui que forment tous les segments qui partent du centre vers les quatre sommets) est de $\arccos (-1/3)$ (approx. 109.471°).

Le tétraèdre est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres des faces d'un tétraèdre régulier, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_4$. Le groupe des isométries positives ayant cette même propriété est quant à lui isomorphe au groupe alterné ${\mathfrak{A}}_4$. Une démonstration est proposée dans l'article Groupe alterné.