Formule de Héron

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Introduction

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :

A = s (s - a) (s - b) (s - c)

s = \frac{1}{2} (a + b + c)

s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.

Démonstration

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

On obtient la formule de Héron en substituant

a = 2 s - b - c

dans la formule ci-dessus.

Mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres.

Une formule permettant de pallier cette instabilité est

$A = \frac{1}{4} (a + (b + c)) (c - (a - b)) (c + (a - b)) (a + (b - c))$ ,

où les noms des côtés sont choisis de sorte à ce que

$a > b > c$ .

Généralisation

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.