Loi inverse-gamma

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Introduction

Inverse-gamma


Paramètres	α > 0 paramètre de forme (réel) β > 0 paramètre d'échelle (réel)
Support	$x \in (0; \infty)$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{β ^{α}}{Γ ( α )} x^{- α - 1} exp (\frac{- β}{x})$
Fonction de répartition	$\frac{Γ ( α , β / x )}{Γ ( α )}$
Espérance	$\frac{β}{α - 1}$ pour α > 1
Mode	$\frac{β}{α + 1}$
Variance	$\frac{β ^{2}}{( α - 1 ) ^{2} ( α - 2 )}$ pour α > 2
Asymétrie (statistique)	$\frac{4 α - 2}{α - 3}$ pour α > 3
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{30 α - 66}{( α - 3 ) ( α - 4 )}$ pour α > 4
Entropie	$α + ln (β Γ (α)) - (1 + α) ψ (α)$
Fonction génératrice des moments	$\frac{2 ( - β t ) ^{\frac{α}{2}}}{Γ ( α )} K_{α} (- 4 β t)$
Fonction caractéristique	$\frac{2 ( - i β t ) ^{\frac{α}{2}}}{Γ ( α )} K_{α} (- 4 i β t)$

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une Distribution Gamma.

La Densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support x > 0 par:

f (x; α, β) = \frac{β ^{α}}{Γ ( α )} (1/ x)^{α + 1} exp (- β / x)

où α est un Paramètre de forme et β un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un Paramètre d'échelle.

F (x; α, β) = \frac{Γ ( α , β / x )}{Γ ( α )}

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la Fonction gamma.

Si X˜Inv-Gamma(α,β) et $α = \frac{ν}{2}, β = \frac{1}{2}$ alors $X \sim Inv-chi-square (ν)$ est une loi du chi-deux (χ²) inverse;
Si $X \sim Inv-Gamma (k, θ)$ , alors $1/ X \sim Gamma (k, 1/ θ)$ ;
Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la distribution Wishart inverse;

La densité de la loi gamma est

f (x) = x^{k - 1} \frac{e ^{- x / θ}}{θ ^{k} Γ ( k )}

et définissons la transformation $Y = g (X) = \frac{1}{X}$ . La densité de la transformée est alors

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

= \frac{1}{θ ^{k} Γ ( k )} (\frac{1}{y})^{k - 1} exp (\frac{- 1}{θ y}) \frac{1}{y ^{2}}

= \frac{1}{θ ^{k} Γ ( k )} (\frac{1}{y})^{k + 1} exp (\frac{- 1}{θ y})

= \frac{1}{θ ^{k} Γ ( k )} y^{- k - 1} exp (\frac{- 1}{θ y})

Remplaçant k par α, θ par β et enfin y par x donne la densité donnée plus haut:

f (x) = \frac{β ^{α}}{Γ ( α )} x^{- α - 1} exp (\frac{- β}{x})