Martingale (calcul stochastique)

En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée F_s, est la valeur à cette même date :

E(X_t | F_s) = X_s (Avec $s\le t$ )

X est un processus adapté à la filtration F.

On parlera de sous-martingale si $E(X_t|F_s)\ge X_s$ et de sur-martingale si $E(X_t|F_s)\le X_s$.

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par ${\mathbb{R}}^{+}$ ou $\mathbb{N}$.

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus $(\mathcal{F}n)n\ge 0$, c'est-à-dire $\mathcal{F}n\subset \mathcal{F}n+1\forall n\in \mathbb{N}$

Filtration naturelle

Soit $(X_n{)}_{n\ge 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ définie par ${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)\forall n\in \mathbb{N}$ est la filtration naturelle de la suite $(X_n{)}_{n\ge 0}$.

Processus adapté

On dit que le processus $(X_n{)}_{n\ge 0}$ est adapté à la filtration $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ si X_n est ${\mathcal{F}}_n$-mesurable pour tout entier n.

Martingale dans $\mathbb{N}$

Soit $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ une filtration.

Soit $(M_n{)}_{n\ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M_n{)}_{n\ge 0}$ est une martingale par rapport à $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ si:

1. $(M_n{)}_{n\ge 0}$ est adaptée à la filtration $(\mathcal{F}n)n\ge 0$.

2. $M_n$ est intégrable pour tout entier n.

3. $E(M_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)=M_n$.

Si $(M_n{)}_{n\ge 0}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)\ge M_n\forall n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M_{n+1}|{\mathcal{F}}_n)\le M_n\forall n$, alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M_n{)}_{n\ge 0}$ est une ${\mathcal{F}}_n$-martingale.

Processus prévisible

Soit $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ une filtration.

Soit $(Y_n{)}_{n\ge 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y_n{)}_{n\ge 0}$ est processus prévisible si $Y_0$ est ${\mathcal{F}}_0$-mesurable et $Y_{n+1}$ est ${\mathcal{F}}_n$-mesurable pour tout entier n.

Propriété 1

Soit $(M_n{)}_{n\ge 0}$ une martingale.

On a $E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1}|{\mathcal{F}}_n))=E(M_n)=\dots =E(M_0)$

Autrement dit, la suite $(E(M_n){)}_{n\ge 0}$ est constante.

exemple 1

Soit $X$ une variable aléatoire intégrable et $X_n:=E(X|{\mathcal{F}}_n)$.

Alors $(X_n{)}_n$ est une ${\mathcal{F}}_n$-martingale.

exemple 2

Soit $(X_k{)}_k$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S_n{)}_n$ définie par $S_n:={\sum }_{k=1}^n{X}_k$ est une ${\mathcal{F}}_n$-martingale avec ${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_0,\dots ,X_n)$.

exemple 3

Soit (X_n)_n une ${\mathcal{F}}_n$-martingale, soit (Y_n)_n un processus borné prévisible par rapport à $({\mathcal{F}}_n{)}_n$.

Alors $(Z_n{)}_n$ définie par $Z_n:=Y_0{X}_0+{\sum }_{k=1}^n{Y}_k(X_k-X_{k-1})$ est une ${\mathcal{F}}_n$-martingale.

Exemple de martingale à temps continu

On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard (B_t)_t. Alors le processus stochastique $(M_t=B_t^2-t{)}_t$ est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale $(B_t^2{)}_t$

Théorème 1

Soit $(M_n{)}_n$ une ${\mathcal{F}}_n$martingale et $T$ un temps d'arrêt .

Alors $(M_{n\wedge T}{)}_n$ est une martingale (appelé "martingale arrêtée").

Démonstration:

• $M_{n\wedge T}={\sum }_{j=1}^{n-1}{M}_j{1}_{(T=j)}+M_n{1}_{(T\ge n)}$.

$\forall k<n{M}_{k}et{1}_{(T=j)}$ sont ${\mathcal{F}}_n$-mesurable.

Donc $M_{n\wedge T}$ est ${\mathcal{F}}_n$-mesurable

• $|M_{n\wedge T}|\le |M_n|+|{\sum }_{j=1}^{n-1}{M}_j|$ d'où $M_{n\wedge T}$ est intégrable.

• $$E(M_{n+1\wedge T}|\mathcal{F}n)=E(\sum {j=1}^{n-1+1}{M}_j\ast 1_{(T=j)}|\mathcal{F}n)+E(Mn+1\ast 1_{(T\ge n+1)}|{\mathcal{F}}_n)$$

Or $M_{j}et{1}_{(T=j)}$ sont ${\mathcal{F}}_n$-mesurable $\forall j\le n$, de même pour $1_{(T\ge n+1)}$.

Corollaire