Numération maya

La numération maya est une numération de position de base 20 (à une irrégularité près dans la notation des grandes durées).

Les chiffres de 1 à 19 s'écrivent suivant un système répétitivo-additif à l'aide de traits valant 5 et de points valant 1. Les Mayas ont inventé un chiffre zéro attesté pour la première fois par les stèles 18 et 19 de Uaxactun (Peten, Guatemala) datées du 3 février 357 où ses trois occurrences en position finale ont la forme d'une fleur. Une autre forme de ce zéro de position est celle de la main de l'accomplissement, ou celle du miroir d'obsidienne. Dans les codex du Postclassique, le zéro de position a la forme d'un couteau (notamment de couteau sacrificiel) et parfois la forme d'un coquillage.

Les Mayas distinguaient les aspects cardinal et ordinal du nombre, et ne confondaient pas par exemple une date avec une durée. Ils inventèrent un signe pour noter l'aspect ordinal du zéro, c'est le signe CHUM dérivant du verbe "s'asseoir, siéger" qui renvoie ici au point de départ d'un cycle. Le zéro ordinal est plus anciennement attesté que le zéro cardinal puisqu'il apparaît pour la première fois sur la Plaque de Leyde datée du 15 septembre 320.

Les Mayas ont laissé des tables de multiples, des tableaux de dates, des dates en quatre calendriers (tzolkin de 260 jours, haab de 365 jours, CR de 18 980 jours et CL de 1 872 000 jours), et des milliers d’équations temporelles reliant les dates et les durées qui décrivent l’histoire des cités et des rois ou la marche du Soleil et des planètes visibles à l’œil nu.Dans les cités mayas, les gens utilisaient la numération parlée de leur langue (chol, yucatèque, etc.) et les scribes disposaient de plusieurs numérations écrites ainsi que d'un système d'unités de temps. Ces systèmes étaient tous de caractère vigésimal.

Pour écrire les petits nombres, par exemple la durée d'une lunaison (c'est-à-dire les entiers 29 et 30) ou les petits déplacements (dans l'almanach divinatoire de 260 jours), les Mayas disposaient d'une numération de type additif utilisant trois signes pour 1, 5 et 20; dans cette écriture : '20,9' s'interprète 20 + 9. Parfois aussi, ils transcrivaient les sons de l'expression parlée du petit nombre; les exemples sont rares (trois dans le codex de Dresde) mais ils sont précieux parce qu'on a alors une trace écrite de l'opération de protraction qui fournit par exemple la valeur 35 (ho.lahun [tu-] ca kal, en yucatèque de l'époque coloniale) à partir des arguments 15 'holhu' et 40 'cakal'.

La notation protractive est aussi attestée sur les monuments pour noter l'âge de la Lune. C'est le compte des jours depuis la nouvelle Lune qui s'exprime par un signe composé lorsqu'il est compris entre 21 et 30. Dans ce cas, le scribe n'écrivait pas le signe tu de l'opération de protraction et juxtaposait les deux arguments. L'âge 29 par exemple s'écrivait '9,20', dans l'ordre croissant. Cet ordre distingue et oppose la protraction de l'addition précédente, par exemple l'âge 29 et la lunaison 29. La lunaison de vingt-neuf jours était notée '20,9' dans l'ordre décroissant des arguments.

Les Mayas écrivaient aussi de grandes durées (couramment de l'ordre du million de jours) soit en numération de position avec zéro comme dans les codex parvenus jusqu'à nous, soit en numération de disposition avec zéro ; dans ce dernier cas (typique des inscriptions monumentales), les mayas écrivaient systématiquement toutes les unités comme par exemple dans le Compte long 13-baktun 0-katun 0-tun 0-uinal 0-kin gravé sur une stèle de Quirigua. Il faut ici rappeler que le système des unités de temps est purement vigésimal si le tun (année de compte valant 360 jours) est considéré comme l'unité principale du système (dans ce cas, il y a un sous-système vigésimal de deux sous-unités de temps : les unités uinal 'mois' et kin 'jour' le sous-système est relié au système par l'équation ou l'irrégularité : 1 tun = 18 uinal).

Les signes d'entiers ou d'unités de temps existent dans trois styles calligraphiques différents: le style point/barre (le plus fréquent dans les codex), le style céphalomorphe et le style en figures entières.

Exemples

Chaque étage est multiplié par une puissance de 20, ainsi la valeur de l'étage le plus bas est multipliée par 20^{0 (x1), du second étage par 20}1 (x20), du troisième étage par 20^2 (x400) et ainsi de suite...
Ce qui donne :

Valeur	Chiffres mayas	note
27		1*20+7
358		17*20+18
340		17*20+0
112211		14*8000+0*400+10*20+11

Le système maya comporte une irrégularité dans le cas des dates : le troisième étage ne comptera pas une 400-aine mais une 360-aine (20×18). Ceci reporte l'étage suivant non pas à la 8000-aine mais à la 7200-aine (20×18×20) et le cinquième à la 144000-aine (20×18×20×20).

Addition et soustraction

Ajouter ou soustraire des nombres dont le résultat est plus petit que 20 avec la numération Maya est très simple
L'addition est réalisée par la combinaison des symboles à chaque niveau.

Si le résultat donne cinq ou plus de points, cinq points sont retirés et remplacés par un trait. Si le résultat donne quatre traits ou plus, quatre traits sont retirés et un point est ajouté au niveau supérieur :

+****= (4+12=16)

La méthode est similaire pour la soustraction: retirer les éléments du second au premier symbole.

Si il n'y a pas assez de points dans le premier symbole, un trait est remplacé par cinq points. Et si, à un étage donné, il n'y a pas assez de traits, un point est retiré de l'étage supérieur qui est remplacé par quatre traits au niveau de l'étage de travail :

-****= (27-10=17)

Forme du zéro cardinal maya

La forme du zéro des codex n'est pas un coquillage. Ce signe allongé représente un couteau (notamment un couteau de sacrifice) et dérive vraisemblablement du signe du miroir d'obsidienne poli. La forme coquillage est rare, mais attestée.

Sur les monuments, le zéro cardinal n'a jamais cette forme, mais celle d'une demi-fleur à quatre pétales, ou celle d'une tête caractérisée par la main de l'accomplissement, ou encore d'une floraison de maïs ou du miroir d'obsidienne.

Variantes graphiques

Les scribes mayas disposaient, outre du système des chiffres point/barre ci-dessus, de nombreuses formes graphiques pour représenter les vingt chiffres nécessaires à l'écriture de leurs nombres (le plus souvent des durées) ou des unités de leur système d'unités de temps (les glyphes de période: kin, uinal, tun, katun, baktun, etc.). Le plus célèbre système est certainement celui des chiffres céphalomorphes (chaque chiffre, de 0 à 19, est représenté par un glyphe ayant la forme d'une tête).

Les scribes mayas utilisaient une numération vigésimale (à base vingt) et ils disposèrent de deux zéros distincts, marqués par des glyphes différents. De manière générale, ils distinguaient toujours soigneusement les durées (de nature 'cardinale') et les dates (de nature 'ordinale'), par exemple dans les almanachs divinatoires, en écrivant les premières en noir et les secondes en rouge. De même, ils distinguaient soigneusement les constituants de chiffre (par exemple : deux points '..' juxtaposés horizontalement pour former le chiffre ou le nombre 2) et les constituants de nombre (c'est-à-dire les chiffres constituant un nombre en écriture positionnelle, par exemple deux points ':' juxtaposés verticalement pour former le nombre 21, soit 'une-vingtaine un').

Le premier, que l'on peut appeler zéro cardinal, est un zéro de position, comme celui de la numération décimale ou de toute autre numération de position. Par exemple : 9.9.16.0.0. (codex de Dresde p. 24) note la durée 9-baktun 9-katun 16-tun 0-uinal 0-kin, c'est-à-dire la durée de 9 x 400 tun (année de compte de 360 jours) + 9 x 20 tun + 16 tun + 0 uinal (mois de 20 jours) + 0 kin (jour).

Le second ou zéro ordinal servait à noter le premier jour des 18 mois de vingt jours ou de la période complémentaire de cinq jours qui constituent l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Par exemple, le premier de l'an était un 0 Pop.

Le zéro ordinal est attesté pour la première fois par une pendeloque de jade (connue sous le nom de plaque de Leyde), et il date du 17/09/320 (après J.-C.). Sur cette pendeloque, le même glyphe apparaît aussi dans un contexte « littéraire » où il note le verbe désignant l'action de monter sur le trône, l'intronisation du roi dont la figure apparaît au recto de la plaque.

Le zéro cardinal apparaît pour la première fois sur les stèles 18 et 19 de Uaxactun, qui comptent trois occurrences de ce signe en position finale. On les trouve dans l'expression (redondante, puisque, dans ce double exemple, toutes les unités sont exprimées) d'une date en compte long (c'est-à-dire représentée par la durée exprimée en nombre de jours écoulés depuis l'origine de la chronologie maya, soit en 3113 avant J.-C.) : 8-baktun 16-katun 0-tun 0-uinal 0-kin. Le zéro cardinal maya est donc attesté depuis le 2 février 357.

Début de la liste des noms de nombres yucatèque extrait de : Beltrán de Santa Rosa Maria, Pedro (1742) : Arte del idioma maya reducido a sucintas reglas y semilexicon yucateco.

Suggestion. Le constituant tu (tuy devant voyelle) est la contraction du locatif ti 'vers, en' et de l'indice personnel de 3 personne u- 'son', lequel sert à dériver l'ordinal à partir du cardinal (comme notre suffixe -ième qui fait passer de 3 à 3). Le locatif peut être sous-entendu, reste alors l'indice personnel (par ex. dans 50). L'amalgame entier, ti+u, peut aussi être sous-entendu. Par exemple, l'expression 35 donnée par Beltran est une forme abrégée de holhu tu-ca-KAL où l'on reconnaît le numéral holhu '15' (en fait le composé intégré (5,10)), l'expression sous-entendue tu- préfixée au numéral ca '2' (soit vers le 2) et le classificateur mesure KAL 'vingt, vingtaine'. La forme holhucakal s'analyse en ho.lahun ti+u-ca-KAL et se traduit élément à élément : '15 vers 2 VINGT'.

Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante). Le linguiste Claude Hagège a proposé d'appeler cette opération « opération de protraction ».

André Cauty (1987) a montré que la numération parlée yucatèque est d'un type spécial que l'on peut dire le type ordinal en vision d'antériorité rétrograde. En effet, si l'expression de 35 dit quelque chose comme '15 vers le 2 VINGT' ou '15 vers 40', sa valeur numérique 35 ne peut être obtenue qu'en revenant au premier VINGT. Bien noter que dans les composés de la deuxième vingtaine (de 21 à 39), les yucatèques ne précisent généralement pas le « coefficient » du VINGT dont il est question (et qui ne peut être que le « premier », c'est-à-dire 2) comme dans l'expression hun tu KAL de 21, mais pas dans celle de 30 ou de 35 (où c'est le relateur tu qui est sous-entendu).