Pi

Pi (ou parfois constante d'Archimède) est un nombre, généralement représenté par la lettre grecque du même nom π, et généralement défini comme étant le rapport entre la circonférence d’un cercle quelconque et son diamètre, en géométrie euclidienne. On peut également le définir comme le rapport entre la superficie d'un cercle et le carré de son rayon. La valeur de pi arrondie à 10^ est 3,141593 en écriture décimale. De nombreuses formules, dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie et bien sûr les mathématiques, impliquent π, qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques.

π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique. C'est aussi un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine ; la preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann. La détermination d'une valeur approchée suffisamment précise de π et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l'histoire des mathématiques ; la fascination exprimée par certains envers ce nombre l'a même fait entrer dans la culture populaire.

L'usage en ce sens de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec, n'est apparu qu'au XVIII siècle.

Définition

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes, π est défini comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre (forcément dans le plan usuel qui est le plan euclidien).

Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. Tous les cercles du plan euclidien sont semblables. Par exemple, si un cercle a le double du diamètre d d'un autre cercle, il aura aussi le double de sa circonférence C.

On démontre que π est aussi le rapport entre la superficie d'un cercle et le carré de son rayon :

Il s'avère que cette définition géométrique, la première historiquement et très intuitive, n'est pas la plus directe pour les mathématiciens quand ils veulent définir π en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés définissent π par l'analyse réelle à l'aide des fonctions trigonométriques elles-mêmes introduites sans référence à la géométrie (voir plus bas).

Définitions alternatives

Un choix fréquent est de définir π comme le double du plus petit nombre positif x tel que cos(x) = 0. Une autre définition possible est envisageable en considérant les propriétés exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui découlent de la définition analytique de l’exponentielle et qui font que l’application $t\mapsto \exp (it)$ est un morphisme de groupes continu du groupe $(\mathbb{R},+)$ vers le groupe $(\mathbb{U},\times )$ (où $\mathbb{U}$ est l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme $a\mathbb{Z}$ où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a / 2. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une définition alternative très voisine en démontrant l’existence d’un morphisme de groupe f continu de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{U},\times )$ tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu’il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f'(x) = 2iaf(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu'on a défini par la fonction $t\mapsto e^{it},$ ou la fonction $t\mapsto e^{2i\pi t}$

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :

ce qui revient à calculer l’aire d’un quart de disque de rayon 1.

Ou bien à l’aide du dénombrement, en appelant $\phi (n)$ le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que $k^2+p^2\le n^2$ et en définissant :

ce qui est une autre méthode pour calculer la surface du quart de disque.

Irrationalité

π est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'on ne peut pas écrire π=p/q où p et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IX siècle, est persuadé que π est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le XII siècle. Ce n'est cependant qu'au XVII siècle que Johann Heinrich Lambert prouve ce résultat.

C'est en 1761 que ce dernier étudie, dans son ouvrage « Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques », le développement en fraction continue de la fonction trigonométrique tan et montre que le développement en fraction continue de tan(m/n), avec m et n des nombres entiers non nuls, est illimité. Il s'écrit plus précisément

Or, on sait qu’un nombre dont le développement en fraction continue est illimité est irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π/4) vaut 1, c’est un rationnel. Par contraposée, on prouve que π/4, et donc π, n’est pas rationnel.

Au cours du XX siècle, d'autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L'une d'entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue. Une preuve similaire avait été trouvée quelques temps auparavant par Mary Cartwright.

Transcendance

π est aussi un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont π soit une racine.

C'est au XIX siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le Théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors e est transcendant. Or e = -1 donc e n’est pas transcendant. Par contraposée, iπ n’est pas algébrique et π est transcendant.

Une conséquence importante de la transcendance de π est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d'un cercle donné.

Représentation décimale

Les 100 premiers chiffres de l'écriture décimale de π sont :

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 , puis voir les liens externes pour plus de décimales.

Alors qu'en 2007, on connaît plus de 10 décimales de π, de nombreuses applications n'ont besoin que d'une dizaine de chiffres, comme l'estimation de la circonférence d'un cercle. Par exemple, la représentation décimale de π tronquée à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d'un cercle dont les dimensions sont celles de l'univers observable avec une précision comparable à celle du rayon d'un atome d'hydrogène.

Étant donné que π est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique et ne prend pas fin. La séquence des décimales de π a toujours fasciné les mathématiciens et les amateurs, et beaucoup d'efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés. Malgré les importants travaux d'analyse effectués et les calculs qui ont réussi à déterminer plus de 200 milliards de décimales de π, aucun modèle simple n'a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres. Les chiffres de la représentation décimale de π sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de π qui peuvent en générer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à d’autres questions, notamment celle de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se demander si π est un nombre univers, ce qui signifie qu'on peut trouver dans son développement décimal n’importe quelle séquence de chiffres. En 2006, il n'existe pas de réponse à ces questions.

Représentation fractionnaire

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approximer Pi dans des calculs (nombre de chiffres significatifs entre parenthèses): 3 / 1 (1); 22 / 7 (3); 333 / 106 (5); 355 / 113 (7); 103993 / 33102 (9); 104348 / 33215 (10); 208341 / 66317 (10), à comparer à PI=3,141 592 653 589 793 238 462 ...

Voir ci dessous pour d'autres approches fractionnaires (Histoire,Approximation numérique, fractions continues et Pi#Mémorisation de π).

Approximation de π

On peut trouver une valeur approchée de π de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre P_n d'un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de π.

Archimède a déterminé la précision de cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, et pour lesquels le cercle est pour l'un cercle circonscrit, et pour l'autre cercle inscrit. Il a réussi, avec un polygone à 96 côtés, à déterminer que 3 + ⁄₇₁ < π < 3 + ⁄₇.

On peut également obtenir des valeurs approchées de π en mettant en œuvre seulement des méthodes purement mathématiques. La plupart des formules utilisées pour calculer π se basent sur ses propriétés mathématiques et demandent pour les comprendre des connaissances en trigonométrie et en calcul intégral. Cependant, certaines n'ont pas ce défaut, comme la formule de Leibniz :

Cette série converge si lentement que près de 300 termes sont nécessaires pour calculer π à 2 décimales près. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers π beaucoup plus rapidement, en posant

et en définissant :

${\pi }_{i,j}=\frac{{\pi }_{i-1,j}+{\pi }_{i-1,j+1}}{2}\text{ pour tout }i,j\ge 1$.

Le calcul de π_10,10 demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les 150 premiers termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car ${\pi }_{10,10}=3.141592653\dots$ approche π à 9 décimales près.

L'histoire ancienne de π, qu'on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l'avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l'histoire de π en trois parties : la période antique durant laquelle π a été étudié géométriquement, l'ère classique, aux alentours du XVII siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans notre connaissance du nombre π, et la période des ordinateurs numériques.

Antiquité

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu’il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carré du diamètre. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J.-C. et découvertes en 1936 présentent des calculs d’aire conduisant à une valeur de π de 3+1/8.

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l’an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d’un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On y trouve une méthode pour évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de ⁄₈₁. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L’aire du disque est légèrement supérieure à l’aire de l’octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors évaluée à 64 soit l’aire d'un carré de côté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)² , c'est-à-dire 256/81.

Le texte indien Shatapatha Brahmana donne à π une valeur de 339/108 ≈ 3,139.

C’est dans le traité d'Archimède (-287, -212) intitulé De la mesure du cercle que l’on peut lire une démonstration liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparait dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s’appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d’un carré inscrit dans le cercle et d’un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l’aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Sa démonstration exploite l’idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l’aire est alors de ⁄₂ de la base multipliée par la hauteur, c’est-à-dire ⁄₂ du périmètre multiplié par le rayon.

La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d’hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d’un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Il démontre ainsi que 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s’arrête à 96 côtés car les calculs qu’il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l’époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en théorie être poursuivie indéfiniment. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de 3,1416, qu'il a probablement obtenu grâce à Apollonius de Perga.

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au III siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de π : π ≈ 355/113 (dont les développement décimaux sont identiques jusqu'à la 6ème décimale, π ≈ 3,1415926 et 355/113 ≈ 3,1415929) et montre que 3,1415926 < π < 3.1415927, en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygône de 12 288 côtés. Cette valeur demeure la meilleure approximation de π au cours des 900 années qui suivent.

II millénaire

Jusqu'en 1400 environ, la précision des approximations de π n'excédait pas les 10 décimales. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d'améliorer cette précision. Les séries permettent d'approcher π avec d'autant plus de précision qu'on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, Madhava de Sangamagrama trouve une série permettant de calculer π, la première :

Cette série, qui est en fait un cas particulier de

$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}$,

est maintenant connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz ou série de Gregory-Leibniz depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVII siècle. Malheureusement, la vitesse de convergence de cette série est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : environ 4 000 termes sont nécessaires pour arriver à la précision qu'avait atteint Archimède. Cependant, en transformant la série de la façon suivante

Madhava a été capable de donner une valeur approchée de π de 3,14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi, qui a réussi à donner 16 décimales.

La première contribution importante venant d'Europe depuis Archimède a été faite par l'allemand Ludolph van Ceulen (1540–1610), qui a utilisé une méthode géométrique afin de donner une estimation de π correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu'il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.

Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète :

trouvée par François Viète en 1593. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis :

que l'on doit à John Wallis, qui l'a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de π/6=arcsin 1/2 pour calculer 15 décimales de π ; bien plus tard, il a déclaré : « J'ai honte de vous dire combien de décimales j'ai trouvé grâce à ces calculs, n'ayant aucune autre occupation à l'époque. ».

En 1706, John Machin a été le premier à trouver 100 décimales de π, en utilisant la formule

avec

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisés pour battre plusieurs records de décimales connues de π, et demeurent aujourd'hui les formules les plus connues pour calculer π grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodigue Johann Dase qui, en 1844, à l'aide d'une formule de Machin, a calculé 200 décimales de π de tête, à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du XIX siècle est due à William Shanks, qui a passé 15 ans à calculer 707 décimales de π, bien qu'à cause d'une erreur, seules les 527 premières étaient correctes. De nos jours, il est aisé d'éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l'ordinateur, ou en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d'erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du XVIII siècle ont amené les mathématiciens à s'interroger sur la nature de π, notamment sur l'absence de motifs périodiques dans ses décimales, une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l'irrationalité de π, par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que π² aussi était irrationnel. Cette constante (π²) jouait un rôle notable en mathématique, puisqu'elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$ qui est π²/6 (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre π et les nombres premiers). Dans la foulée, Legendre et Euler ont tous les deux conjecturé que π était un nombre transcendant, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Origine de la notation

C'est au cours du XVIII siècle siècle que s'établit l'usage de la lettre grecque « π », première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.

À partir du XVII siècle siècle certains mathématiciens utilisent la notation π/δ où π désigne la circonférence et δ le diamètre. Le premier a utiliser simplement π est William Jones dans son livre A New Introduction to Mathematics publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d'utiliser d'autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l'adopte dans son livre Introductio in analysin infinitorum publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s'imposer vers la fin du XVIII siècle.

Ère informatique

Alors que quelques dizaines de décimales de π sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu'effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre π n'a pas cessé avec l'arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.

En 1949, à l'aide de l'ENIAC, John von Neumann a obtenu 2037 décimales de π, suite à un calcul qui a duré 70 heures. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l'étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n'ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L'une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du XX siècle, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir π ; certaines d'entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique. L'une de ces formules est la série suivante :

La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 :

Cette formule donne 14 nouvelles décimales de π à chaque terme. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l'ont utilisé pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels.

Alors que les séries permettent d'obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l'inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Eugene Salamin ont découvert indépendamment l'algorithme Salamin-Brent, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M(1,√2)), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est $L=2\varpi r$ où r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où $\varpi$ est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1,√2) alors

Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l'algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de π va alors avancer conjointement avec celle des décimales de √2.

L'algorithme consiste à poser

$a_0=1b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}{t}_0=\frac{1}{4}{p}_0=1$,

puis à définir les relations de récurrence suivantes

et enfin à calculer ces termes jusqu'à ce que a_n et b_n soient assez proches. On a alors une valeur approchée de π donnée par

En utilisant cet algorithme, seuls 25 termes sont nécessaires pour calculer 45 millions de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein. C'est grâce à ces méthodes qu'en 1999, Yasumasa Kanada et son équipe ont battu le record du nombre de décimales de π qui datait de 1980, en atteignant les 206 158 430 000 chiffres.

En août 2010, le record est à nouveau battu par deux informaticiens (un japonais et un américain) avec 5000 milliards de décimales.

En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π. La formule,

est remarquable car elle permet de calculer n'importe chiffre de l'écriture de π en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000 chiffre en binaire de π, qui s'est révélé être 0.

Si une formule de la forme

était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l'un des moyens les plus efficaces pour calculer n'importe quel chiffre dans l'écriture de π en base b sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement du nombre de termes de la série calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir π. En posant q = e (constante de Gelfond), on a

ainsi que

où k est un nombre impair, et a, b, c sont des nombres rationnels.

Géométrie

π apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :

π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions).

Nombres complexes

Un nombre complexe z peut s'exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante :

L'apparition fréquente de π en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d'Euler

où i est l'unité imaginaire satisfaisant la relation i = −1 et e ≈ 2.71828 est la constante de Néper. Cette formule implique que les puissances imaginaires de e décrivent des rotations sur le cercle unité du plan complexe ; ces rotations ont une période de 360°=2π. En particulier, une rotation de 180°=π donne l'identité d'Euler

$e^{i\pi }=-1.$ et donc $e^{i\pi }+1=0.$

Cette formule a été qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par Richard Feynman, car elle réunit en seulement 7 caractères l'addition, la multiplication, l'exponentiation, l'égalité et les constantes remarquables 0, 1, e, i et π.

Suites et séries

De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à l’origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

Méthode d’Archimède

$\pi ={\lim }_{n\to \infty }\left(n\cdot \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\right)={\lim }_{n\to \infty }\left(n\cdot \tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\right)$.

Les deux suites définies par , et $t_n=n\tan (\pi /n)$, n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour s_n, exinscrit pour t_n. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s’inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes $s_{2^n}$ et $t_{2^n}$ ou encore $s_{3.2^n}$ et $t_{3.2^n}$, à l’aide des identités trigonométriques usuelles :

En utilisant les identités trigonométriques, $2\sin (x/2)=\sqrt{2-\cos (x)}$ et $2\cos (x/2)=\sqrt{2+\cos (x)}$ (x ∈ [0,π]), on peut exprimer s₂ et s_3.2 (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors s’exprimer sous la forme d’une formule où s'emboîtent des racines carrées :

$\pi ={\lim }_{k\to \infty }\left(2^k\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}\right)$ (k est le nombre de racines carrées emboitées)

ou encore :

Une autre expression de s₂, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √(2+√…)), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).

Sommes et produits infinis

• $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+\cdots ={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{2k+1}=\frac{\pi }{4}$ (formule de Leibniz, James Gregory et Madhava de Sangamagrama)

• $\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \cdots \cdot \frac{2k+2}{2k+1}\cdot \frac{2k+2}{2k+3}\cdot \cdots =\frac{\pi }{2}$ (produit de Wallis)

• $\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}$ (formule due à Ramanujan)

• $\frac{1}{\pi }=12{\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k+3/2}}$ (formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Fonction zêta de Riemann

• $\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{k^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ (Euler)

• $\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots +\frac{1}{k^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$,

et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π pour un entier positif n.

Suite logistique

Soit (x_n) la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre μ = 4 appliquée à un réel x₀ choisi dans l'intervalle [0, 1] (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout $n⩾0$, $x_{n+1}=4x_n(1-x_n)$). La suite (x_n) quitte l'intervalle [0;1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.

On a ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=0}^n\sqrt{x_i}=\frac{2}{\pi }$ pour presque toutes les valeurs initiales x₀.

Intégrale

Le nombre π apparait également comme étant le double de la limite du sinus intégral à l'infini :

Probabilités et statistiques

En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante π, dont :

• la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ, dont la densité de probabilité s'écrit :

• la loi normale de Cauchy, dont la densité de probabilité est :

Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.

• $n!=\Gamma (n+1)\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ (formule de Stirling)
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

D'autre part, il existe diverses expériences probabilistes où π intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d'épreuves, à déterminer une approximation de π.

L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur L, soit à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est :

Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de π :

où n est le nombre d'aiguilles lancées, et x celui d'aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.

Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de π expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d'effectuer des millions de lancers, et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de π. Par exemple, une différence de mesure d'un seul atome sur une aiguille de longueur de 10 centimètres va se retrouver dès la neuvième décimale de π. En pratique, les cas où l'aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l'imprécision de l'expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.

La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre au hasard un point dans un carré de côté 1, la probablité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 étant de π/4 ; ceci peut facilement se comprendre étant donné que la superficie de ce quart de cercle est π/4 alors que la superficie du carré est 1.

Approximations numériques

Comme π est transcendant, il n'existe pas d'expression du nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de π utilisant l'arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d'approximer π avec le moins d'erreur que l'on désire, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de π.

Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de π. Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingénieurs utilisent souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec 3 chiffres significatifs et 7 respectivement, sont obtenus à partir de l'écriture en fraction continue de π.

L'approximation de π en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement 3 ou 4 chiffres au numérateur et au dénominateur, la meilleure approximation suivante étant 103993/33102, qui en exige un nombre beaucoup plus important ; ceci venant de l'apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de π.

La première approximation numérique de π fut certainement 3. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d'approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c'est parce qu'il est le rapport entre le périmètre d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.

Fractions continues

La séquence des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de π ne fait apparaître aucun schéma évident :

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,\cdots ]$,

ce qui est une notation équivalente à

Cependant, il existe des fractions continues généralisées représentant π dont la structure est régulière :

π/2 peut aussi être écrit sous une forme de fraction continue généralisée, faisant intervenir la suite des inverses des nombres entiers :

Questions ouvertes

De nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que e est transcendant et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et e sont algébriquement indépendants.

Comme dit précédemment, on ignore encore si π est un nombre normal, ou même un nombre univers en base 10.

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique. D'ailleurs, la découverte d'un plus grand nombre de décimales de π fait souvent l'objet d'articles dans la presse généraliste, signe que π est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques.

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de π dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation anglo-saxonne, est donc appelé la journée de pi.

π dans l'art

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et, plus précisément, que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π , le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de π . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, l’on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de π.

Il est en tout cas certain que π soit présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, pi joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu'il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de pi, placé par celui qui a créé l'univers. Cette partie de l'histoire a été écartée de l'adaptation cinématographique du roman.

Sur le plan cinématographique, Pi a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l'on doit notamment Requiem for a Dream. π est un thriller mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi formule exacte des marchés boursiers de Wall Street ou encore le véritable nom de Dieu.

Dans le registre musical, l'auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album Aerial, qui contenait le morceau « π », dont les paroles sont principalement composées des décimales de π.

Mémorisation de π

Au delà de la mémorisation de Pi, usuellement ses 3 à 6 prmeiers chiffres ou par la remarquable valeur approchées de la fraction 355/113 (7 chiffre significatifs), la mémorisation d'un nombre record de décimales de π a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. En 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, a réussi à réciter 100 000 décimales de π en 16 heures. Ceci, cependant, n'a pas encore été vérifié par le Livre Guinness des records. Le record de mémorisation de π reconnu par le Guinness des records est de 67 890 chiffres, détenu par Lu Chao, un jeune diplômé chinois. Il lui a fallu 24 heures et 4 minutes pour réciter les 67 890 premières décimales de π sans erreur.

Le 17 juin 2009, Andriy Slyusarchuk, un neurochirurgien et professeur ukrainien, a affirmé avoir mémorisé 30 millions de décimales de π, qui ont été imprimées en 20 volumes. Bien qu'il n'ait pas récité les 30 millions de chiffres qu'il a dit avoir retenu, certains médias prétendent qu'il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de π, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de 10 lettres représentant un 0. En voici un exemple :

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur, (variante:Glorieux Archimède, artiste ingénieux,)

Qui de ton jugement peut priser la valeur ? (variante: Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,)

Pour moi ton problème eut de pareils avantages. (variante: Soit ton nom conservé par de savants grimoires.)

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l’espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :

Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l’orbe calculée approchera ;

Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèle

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d'un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d'utiliser des méthodes comme la méthode des loci.