Représentation graphique de l'équation y=x3 montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0,0)
Point d'inflexion de l'arctangente
En analyse, ou en géométrie différentielle un point d'inflexion est un changement de la concavité sur une courbe. Les points d'inflexion sont aussi ceux où la tangente traverse la courbe.
C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe.
Si, sur un point de la courbe représentative d'une fonction continue, la concavité passe du type « convexe » au type « concave » (ou l'inverse), on appelle ce point « point d'inflexion de la courbe ».
Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la tangente croise la courbe.
En un point d'inflexion la dérivée seconde, si elle existe, s'annule. Ceci permet de tester quels points sont points d'inflexion.
Les points d'inflexion d'un arc plan sont les points où la courbure s'annule en changeant de signe. Le centre de courbure (vers lequel est tourné la concavité de la courbe) passe d'un côté à l'autre.
Un point birégulier est un point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont indépendants. En un tel point, il y a une tangente, sans rebroussement ni inflexion (point ordinaire).
Les points non biréguliers sont les points où la courbure s'annule (avec ou sans changement de signe).
La recherche des points d'inflexion s'effectue donc en faisant la liste des points non biréguliers, et en faisant l'étude locale en chacun d'eux. Voir pour les détails de cette étude, l'article tangente.
Remarque : certains auteurs préfèrent donner pour définition de point d'inflexion « point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont colinéaires ». La distinction faite au-dessus n'a alors pas lieu d'être, mais en un point d'inflexion on ne traverse plus nécessairement la tangente.