Polynômes de Bell

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Introduction

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, les polynômes de Bell, nommés ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, sont donnés par

B_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1}) = \sum \frac{n !}{j _{1} ! j _{2} ! \dots j _{n - k + 1} !} (\frac{x _{1}}{1 !})^{j_{1}} (\frac{x _{2}}{2 !})^{j_{2}} \dots (\frac{x _{n - k + 1}}{( n - k + 1 )!})^{j_{n - k + 1}},

où la somme porte sur toutes les suites j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 d'entiers tels que

j_{1} + j_{2} + \dots = k et j_{1} + 2 j_{2} + 3 j_{3} + \dots = n .

Identité de convolution

Pour des suites x_n, y_n, n = 1, 2, ..., on peut définir un produit de convolution par

(x ♢ y) n = \sum j = 1^{n - 1} (j n) x_{j} y_{n - j}

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit $x_{n}^{k ♢}$ le n-ème terme de la suite

k factors x ♢ \dots ♢ x .

Alors

B_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) = \frac{x _{n}^{k ♢}}{k !} .

Polynômes de Bell complets

La somme

B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = k = 1 \sum n B_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1})

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes B_n, k définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell "partiels". Les polynômes de Bell complets satisfont l'identité suivante :

B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = det [x_{1} (1 n - 1) x_{2} (2 n - 1) x_{3} (3 n - 1) x_{4} (4 n - 1) x_{5} \dots \dots x_{n} - 1 x_{1} (1 n - 2) x_{2} (2 n - 2) x_{3} (3 n - 2) x_{4} \dots \dots x_{n - 1} 0 - 1 x_{1} (1 n - 3) x_{2} (2 n - 3) x_{3} \dots \dots x_{n - 2} 0 0 - 1 x_{1} (1 n - 4) x_{2} \dots \dots x_{n - 3} 0 00 - 1 x_{1} \dots \dots x_{n - 4} 0 000 - 1 \dots \dots x_{n - 5} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0000 \dots - 1 x_{1}] .

Interprétation combinatoire

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j₁ fois, "2" apparait j₂ fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

Exemples

Par exemple, nous avons

B_{6, 2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = 6 x_{5} x_{1} + 15 x_{4} x_{2} + 10 x_{3}^{2}

car il y a

6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1,

15 partitions de la forme 4 + 2, et

10 partitions de la forme 3 + 3.

De même,

B_{6, 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 15 x_{4} x_{1}^{2} + 60 x_{3} x_{2} x_{1} + 15 x_{2}^{3}

car il y a

15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1,

60 partitions de la forme 3 + 2 + 1, et

15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

Nombres de Stirling et nombres de Bell

La valeur du polynôme de Bell B_n,k(x₁,x₂,...)lorsque tous les xs valent 1 est un nombre de Stirling de deuxième espèce :

B_{n, k} (1, 1, \dots) = S (n, k) = {n k} .

La somme

k = 1 \sum n B_{n, k} (1, 1, 1, \dots) = k = 1 \sum n {n k}

est le n-ème nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments.

Applications

Formule de Faà di Bruno

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} f (g (x)) = k = 0 \sum n f^{(k)} (g (x)) B_{n, k} (g^{'} (x), g^{''} (x), \dots, g^{(n - k + 1)} (x)) .

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

f (x) = n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n !} x^{n} et g (x) = n = 1 \sum \infty \frac{b _{n}}{n !} x^{n} .

Alors

g (f (x)) = n = 1 \sum \infty \frac{\sum _{k = 1}^{n} b _{k} B _{n, k} ( a _{1} , \dots , a _{n - k + 1} )}{n !} x^{n} .

Les polynômes de Bell "complets" apparaissent dans l'exponentielle d'une série formelle :

exp (n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n !} x^{n}) = n = 0 \sum \infty \frac{B _{n} ( a _{1} , \dots , a _{n} )}{n !} x^{n} .

Moments et cumulants

La somme

B_{n} (κ_{1}, \dots, κ_{n}) = k = 1 \sum n B_{n, k} (κ_{1}, \dots, κ_{n - k + 1})

est le n-ème moment d'une distribution de probabilité dont les n premiers cumulants sont κ₁, ..., κ_n. Autrement dit, le n-ème moment est le n-ème polynôme de Bell complet évalué en les n premiers cumulants.

Représentations de suites polynomiales

Pour toute suite a₁, a₂, a₃, ... de scalaires, soit

p_{n} (x) = k = 1 \sum n B_{n, k} (a_{1}, \dots, a_{n - k + 1}) x^{k} .

Cette suite de polynômes est de type binomial, c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale

p_{n} (x + y) = k = 0 \sum n (k n) p_{k} (x) p_{n - k} (y)

pour n ≥ 0. En fait, on a le résultat réciproque suivant :

Théorème : Toutes les suites de polynômes de type binomial sont de cette forme.

Si nous posons

h (x) = n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n !} x^{n}

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n,

h^{- 1} (\frac{d}{d x}) p_{n} (x) = n p_{n - 1} (x) .