Produit tensoriel de deux modules

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Introduction - applications bilinéaires

Lorsque M, N et F sont trois modules sur un même anneau commutatif unitaire A, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :

f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que $\forall α, β \in A, \forall x, y \in M, \forall z \in N, f (α x + β y, z) = α f (x, z) + β f (y, z)$ .
f est linéaire à droite, c'est-à-dire que $\forall α, β \in A, \forall x \in M, \forall y, z \in N, f (x, α y + β z) = α f (x, y) + β f (x, z)$ .

Les applications bilinéaires sont des objets mathématiques compliqués, c'est pourquoi on peut être tenté de ramener le problème des applications bilinéaires à celui des applications linéaires. En d'autres termes, existe-t-il un module $M \otimes N$ et une application bilinéaire $φ : M \times N \to M \otimes N$ tels que toute application bilinéaire $f : M \times N \to F$ se factorise de manière unique à droite par $φ$ , c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire $g : M \otimes N \to F$ telle que $f = g \circ φ$ .

On peut prouver qu'un tel couple $(M \otimes N, φ)$ existe et est unique à unique isomorphisme près.

Définition

Soit M et N deux modules sur un même anneau commutatif unitaire A. L'espace $C = A^{(M \times N)}$ est le A-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N. C est un A-module libre dont $(e_{(x, y)})_{(x, y) \in M \times N}$ est la base canonique.

On souhaite que les éléments de la forme

e_{(x + y,z)} − e_(x,z) − e_(y,z)
e_{(x,y + z)} − e_(x,y) − e_(x,z)
e_(αx,y) − αe_(x,y)
e_(x,αy) − αe_(x,y)

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note $M \otimes_{A} N$ le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note $x \otimes y$ la classe de e_(x,y) dans $M \otimes_{A} N$ .

Généralisation à un produit fini de modules

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit $E_{1}, \dots E_{n}$ n modules sur un même anneau commutatif unitaire A. On considère le module produit $E = E_{1} \times \dots \times E_{n}$ . Une application f : E → F est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n - 1 éléments $x_{k} \in E_{k} (k \neq = i)$ , l'application partielle $x_{i} \mapsto f (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n})$ est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note $⨂_{i = 1}^{n} E_{i}$ et une application n-linéaire surjective $φ : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto x_{1} \otimes x_{2} \otimes \dots \otimes x_{n}$ de E dans $⨂_{i = 1}^{n} E_{i}$ telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire $g : ⨂_{i = 1}^{n} E_{i} \to F$ telle que $f = g \circ φ$ .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois modules sur un anneau commutatif unitaire A, alors les modules $(E \otimes_{A} F) \otimes_{A} G$ , $E \otimes_{A} (F \otimes_{A} G)$ et $E \otimes_{A} F \otimes_{A} G$ sont isomorphes.