Puissance (algèbre)

En algèbre, l'opération puissance consiste à multiplier un nombre a par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté à la suite du nombre a en exposant au sens typographique de ce terme. Pour cette raison, ce nombre de facteurs est encore appelé exposant (sens mathématique) de l'opération puissance, et ce nom remplace parfois abusivement le nom de l'opération elle-même.

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à deux et a un nombre réel ou complexe :

qui est lu « a puissance n » ou abusivement « a exposant n ». En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement. Tout élément est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

Lorsqu'un élément est inversible, ses puissances d'exposant négatif sont définies comme les puissances de son inverse. Par exemple, si a est un nombre réel non nul :

L'opération puissance est prioritaire sur les autres opérations algébriques élémentaires.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de 10, comme 10⁻⁵, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée a et lue «  a puissance n », ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance a.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et a est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers

• a¹ = a ;
• On appelle a² la puissance carrée ou le carré de a ;
• On appelle a³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque facilement que, quel que soit l'entier naturel n non nul, 0 = 0 ainsi que 1 = 1.

Pour tout nombre réel a strictement positif, on pose par convention que a⁰ = 1. En effet, on peut écrire $a^0=a^{1-1}=a^1\times a^{-1}=a\times \frac{1}{a}=1$ d'où a⁰ = 1.

Dans certains contextes, il peut être utile de poser la convention 0⁰ = 1, par exemple pour identifier le polynôme X⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application $(x,y)\mapsto x^y=\exp (y\ln (x))$, bien définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\times \mathbb{R}$ n'admet pas de prolongement par continuité en (0,0) ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité.

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n » par abus de langage, est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à-dire :

On comprend qu'il ait fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre -n est l'exposant de la puissance a.

Le nombre -n étant négatif, car n est un entier naturel, a est une puissance de a à exposant négatif. On notera, en particulier, que a⁻¹ = 1/a (l'inverse du nombre a ).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :

Il n'y a pas de rapport direct entre le signe de l'exposant et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif :

si n est pair, alors ( − a) = a.

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe :

si n est impair, alors ( − a) = − a.

Exemples.

• (-2)³, puissance cubique de -2, vaut (-2) × (-2) × (-2) = -8 < 0.
• 3⁻⁴, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

Remarque.

Il ne faut pas confondre les écritures ( − a), où la puissance s'applique à -a (signe moins compris) et − a, où la puissance s'applique à a uniquement. En effet :

• $(-a{)}^n=(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)$
• $-a^n=-a\times a\times a\times \cdots \times a$

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de a − b et le développement de (a + b).

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

• $a^m\times a^n=a^{m+n}$ ;

• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ si a ≠ 0 ;

• $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$ (n’est vrai dans le cas général que si a et b commutent)

• $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$ ;

• ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ si b ≠ 0.

Ces formules sont encore valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0 » est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout nombre réel a ≠ 0,

• $a^n\times a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0$ et

• $$a^n\times a^{-n}=a^n\times \frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1.$$

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative -n est un 1 placé à la n position dans un nombre décimal, i. e. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du système international :

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10 pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10 pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵ = 32 572 000
• 325,72/10⁵ = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

• dans l'écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10⁻² ;

• dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,257 2 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

• et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Les puissances entières sont en fait des cas particuliers de la fonction exponentielle :

a = exp(b ln a), définie pour tout réel a > 0.

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir :

• des puissances fractionnaires : $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$, où n est un entier, qui coïncident avec les racines n pour tout x > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
• des puissances réelles : x peut être défini pour y réel et tout x > 0.

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux même règles que les puissances entières. Notamment, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

• $a^b\times a^c=a^{b+c}$ ;
• $(a^b{)}^c=a^{b\times c}$.

On a en particulier :

• $a^{-1/b}=\frac{1}{\sqrt[b]{a}}$, pour tout entier b ;
• $\sqrt[c]{a^b}=a^{b/c}$, si c est entier ;
• $(a^b{)}^{1/b}=(a^{1/b}{)}^b=\sqrt[b]{a^b}={\left(\sqrt[b]{a}\right)}^b=a^{b/b}=a$ si b ≠ 0.