Un quadrilatère complet est une figure de géométrieplane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.
Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexeABCD par le pointE intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).
Chacune des trois diagonales [BD], [EF] et [AC] est divisée harmoniquement par les deux autres.
Chaque diagonalecoupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (BD) est coupée par les diagonales (AC) et (EF) en I et J tels que
IDIB:JDJB=−1
De même si K est l'intersection des diagonales (AC) et (EF) :
JFJE:KFKE=−1
KCKA:ICIA=−1
C'est un avatar projectif de la propriété des diagonales du parallélogramme (cas où l'une des diagonales du quadrilatère complet est la droite à l'infini dans le plan projectif vu comme plan affine complété), à savoir qu'elles se coupent en leur milieu (cas limite de division harmonique, voir l'article).
On en donne une première démonstration géométrique, qui utilise les propriétés des faisceaux harmoniques : la propriété caractéristique qui est que toute sécante à un faisceau harmonique est découpée suivant une division harmonique, et l'existence et l'unicité d'une quatrième harmonique.
Cette propriété peut aussi se déduire du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva, ou permettre de déduire l'un de ses théorèmes à partir de l'autre, voir ce dernier article.
La droite de Newton
Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton.
Théorème de Miquel
les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants.
Utilisation remarquable
Le dual du quadrilatère complet est le quadrangle complet.
Le quadrangle complet inscrit dans une conique est très utile pour démontrer certaines propriétés des tangentes et des polaires dans une conique.
