Sinus cardinal

En mathématiques, la fonction sinus cardinal est une fonction spéciale définie à partir de la fonction trigonométrique sinus, apparaissant fréquemment dans des problèmes de physique ondulatoire, et dont le graphe est communément appelé « chapeau mexicain ».

La fonction sinus cardinal est définie par :

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ (définition 1)

où sin désigne la fonction sinus.

Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée :

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ (définition 2)

Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite ${\mathrm{sinc}}_1$ (resp. ${\mathrm{sinc}}_{\pi }$) la première (et respectivement la seconde) version de la fonction. La seconde est parfois nommée sinus cardinal normalisé.

Propriétés élémentaires

La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en

un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est la dérivée du sinus en 0, égale à cos(0) = 1.

Les zéros de la fonction sont atteints en $x=k\pi ,k\in {\mathbf{Z}}^{\star }$ (première définition) ou $x=k,k\in {\mathbf{Z}}^{\star }$ (seconde définition)

La valeur où le carré de ${\mathrm{sinc}}_1(x)$ vaut 0,5 est atteinte pour x = +/- 1.39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à -3 dB en puissance, de la fonction)

Résultats de calcul infinitésimal

La fonction est développable en série entière sur la droite réelle

De là vient que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. Il peut même être étendu en une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, en employant la formule précédente pour tout x complexe.

Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0

On démontre que l'intégrale ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ converge. Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet, valant π / 2. Cependant la fonction sinus cardinal n'est pas intégrable sur ${\mathbb{R}}_{+}$au sens de Lebesgue (ni d'ailleurs à aucun autre sens, pas même à celui de l'intégrale de jauge), car la convergence n'est pas absolue ; en d'autres termes, on a ${\int }_0^{+\infty }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t=+\infty$.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:

où la fonction porte est définie de la manière suivante :

${\mathrm{rect}}_{\tau }\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1& |t|\le \tau /2\\ 0& \text{sinon}\end{array}$.

La transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}\tau )(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int {-\tau /2}^{\tau /2}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\tau {\mathrm{sinc}}_1\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)$.

• E. T. Whittaker a montré que la fonction sinus cardinal joue un rôle central dans la théorie de l'interpolation sur un réseau de points équidistants.

• Étant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en traitement numérique du signal. Plus précisément, en théorie de la communication, la fonction sinus cardinal permet la synthèse exacte des signaux à spectre de support fini (formule de Shannon, 1949). En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, pour la diffraction par une fente, etc.

• La même idée est à la base de l’approximation sigma de Cornelius Lanczos.

• On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables).

• Étant donné que les valeurs décroissent rapidement, le carré de la fonction sinus cardinal est souvent représenté en échelle logarithmique.