Suite (mathématiques)

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Introduction

En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.

Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de $N$ dans E. On note classiquement une suite (u_n), ou $(u_{n})_{n \in N}$ .

Cas particuliers :

Si $E \subseteq Z$ , alors la suite est dite « entière ».
Si $E \subseteq R$ , alors la suite est dite « réelle ».
Si $E \subseteq C$ , alors la suite est dite « complexe ».

Fragments d'histoire

Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 avant Jésus-Christ et plus récemment au 1 siècle après Jésus-Christ dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie :

Pour extraire la racine carrée de $A$ , choisir une expression arbitraire $a$ et prendre la moyenne entre $a$ et $\frac{A}{a}$ et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent

En notation moderne, cela définit la suite de nombres (u_n) telle que

$u_{0} = a$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{A}{u _{n}})$

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du XVII siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence :

Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie (...) on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité.

C'est ainsi que l'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XX siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.

Notations

Soit A une partie de $N$ . Soit $u \in E^{A}$ une suite d'éléments de E. Nous notons u_n l'image u(n) de l'entier n par u.

Ainsi, les images de $0, 1, 2, \dots, n$ sont notées $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ .

On dit que u_n est le terme de rang n, ou d'indice n de la suite u.

Nous notons en général la suite u : $(u_{n})_{n \in A}$ qui est donc une application.

Lorsque $A = N$ , nous notons plus simplement la suite : $(u_{n})$ .

Lorsque $A = N_{n} = [1, n] \cap N = {1, 2, \dots, n}$ , nous pouvons noter la suite $(u_{k})_{1 \leq k \leq n}$ ou encore $(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ .

L'ensemble des suites d'éléments de E indexées par une partie A de $N$ se note $F (A, E)$ ou E.

Remarque

Nous ne devons pas confondre la suite $u = (u_{n})_{n \in N}$ avec l'ensemble des valeurs de la suite ${u_{n} / n \in N}$ qui est l'image directe de $N$ par u. Par exemple, considérons la suite $((- 1)^{n})$ , l'ensemble des valeurs de la suite est { − 1,1}.

Exemples

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

$(0, 0, 0, 0, \dots)$ .

Plus généralement, si (u_n) est une suite et que $\exists N \in N \forall n \geq N u_{n} = 0$ , alors on dit que (u_n) est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang », ou encore « cofinale à zéro ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément k de E on peut identifier k et la suite :

(k, k, k, \dots)

Posons $\forall n \in N, u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ ; $u = (u_{n})_{n \in N}$ est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par:

(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \dots)

Terme général et récurrence

Une suite étant une application de A (partie de $N$ ) dans E , il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si u_n est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de u_n.

Cependant, si $A = {n \in N, n \geq n_{0}}$ , la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. La propriété de récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner $u_{n_{0}}$ pour en déduire tous les termes. En pratique, la détermination de $u_{n}$ va nécessiter le calcul de tous les termes de $u_{n_{0}}$ à $u_{n - 1}$ , soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple : la suite définie par u₀ = 1 et, pour tout entier n, u_{n + 1} = (n + 1)u_n est la suite des factorielles : u_n = n!

Somme des termes d'une suite

Si E est un groupe additif, on note :

n = p \sum q u_{n}

p \leq n \leq q \sum u_{n}

la somme :

u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{q}

Voir aussi : Série (mathématiques).

Exemples de suites

Suite arithmétique

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par

{u_{n_{0}} = a \forall n \geq n_{0}, u_{n + 1} = u_{n} + r

où r est une constante. Son terme général est alors

u_{n} = a + (n - n_{0}) r

Suite géométrique

C'est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par

{u_{n_{0}} = a \forall n \geq n_{0}, u_{n + 1} = q u_{n}

Où q est une constante. Son terme général est alors

u_{n} = a q^{n - n_{0}}

Suites arithmético-géométriques

C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par

{u_{n_{0}} = U \forall n \geq n_{0}, u_{n + 1} = a u_{n} + b

Si a = 1, la suite est arithmétique
Si $a \neq = 1$ , son terme général est alors

u_{n} = \frac{b}{1 - a} + a^{n - n_{0}} (U - \frac{b}{1 - a})

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

u_{n + p} = a_{0} u_{n} + a_{1} u_{n + 1} + \dots + a_{p - 1} u_{n + p - 1}

où a₀, a₁, …a_{p − 1} sont p scalaires (a₀ non nul). L’entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

Quelques suites célèbres

Il est assez surprenant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :

la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or
la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de un si celui-ci est impair. Le comportement de cette suite reste encore une énigme pour les mathématiciens.

Limite de suite

Suite convergente

La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans $R$ ou $C$ sont un cas particulier de cette définition. De façon simpliste, une suite a une certaine limite lorsque ses points se rapprochent de la valeur limite lorsque l'indice devient grand.

Définition générale :

Soit E un espace muni d'une topologie $O$ . On note $O (u)$ l'ensemble des ouverts contenant u.
On dira que la suite $(u_{n})_{n \in N} \in E^{N}$ est une suite convergente vers $u^{*} \in E$ si

$\forall O \in O (u^{*})$ , $\exists N \in N$ tel que $\forall n > N$ , $u_{n} \in O$ .

Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans $R$ ou $C$

Suite réelle convergente

On dira que la suite u est convergente vers u lorsque pour tout $η \in R_{+}^{*}$ , il existe $N \in N$ tel que pour tout $n \in N$ , n > N:

∣ u_{n} - u^{*} ∣ \leq η

On dit alors que u tend vers u , et on le note :

n \to + \infty lim u_{n} = u^{*}

Suite complexe convergente

La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.

Limites infinies

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies $+ \infty$ et $- \infty$ avec les définitions suivantes

Définition 1 :

On dira que la suite u est divergente vers $+ \infty$ lorsque pour tout $M \in R_{+}^{*}$ , il existe $N \in N$ tel que pour tout $n \in N$ , n > N:

u_n > M

On dit alors que u tend vers $+ \infty$ , et on le note :

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

Définition 2 :

On dira que la suite u est divergente vers $- \infty$ si, pour tout $M \in R_{+}^{*}$ , il existe $N \in N$ tel que pour tout $n \in N$ , n > N:

u_n < − M

On dit alors que u tend vers $- \infty$ , et on le note :

n \to + \infty lim u_{n} = - \infty

Propriétés

Les propriétés sur les limites

Unicité
Opération
Complétude

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article : Limite de suite.

Suites réelles et relation d'ordre

Suites monotones

Définition

On dit qu'une suite réelle est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Par extension, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Propriétés

Suite croissante: On dira que la suite $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est croissante lorsque :

\forall n \in N, u_{n + 1} \geq u_{n}

Suite strictement croissante: On dira que la suite $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est strictement croissante lorsque :

\forall n \in N, u_{n + 1} > u_{n}

Suite décroissante:On dira que la suite $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est décroissante lorsque :

\forall n \in N, u_{n + 1} \leq u_{n}

Suite strictement décroissante: On dira que la suite $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est strictement décroissante lorsque :

\forall n \in N, u_{n + 1} < u_{n}

Exemples

La suite définie $\forall n \in N$ par U_n = 2n + 1 est strictement croissante sur $R$ .

Critères

Propriété 1 : critère de croissance

Propriété 2 : critère de décroissance

Limites de suites monotones

Suite monotone bornée

L'axiome de la borne supérieure, permet de démontrer facilement :

Si $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est croissante (resp. décroissante) et majorée par M (resp. minorée par m), alors $(u_{n})_{n \in N}$ est convergente et $lim_{n \to + \infty} u_{n} \leq M (resp. lim_{n \to + \infty} u_{n} \geq m)$ .

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Si :

$(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est croissante
$(v_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est décroissante
$\exists N \in N$ tel que : $\forall n > N$ on a $u_{n} \leq v_{n}$

alors :

(u) et (v) sont convergentes et $lim_{n \to + \infty} u_{n} \leq lim_{n \to + \infty} v_{n}$

Suite monotone non bornée

Si $(u_{n})_{n \in N} \in R^{N}$ est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée ), alors $(u_{n})_{n \in N}$ tend vers $+ \infty$ (resp. $- \infty$ )

Suites adjacentes

Deux suites réelles $(a_{n})_{n \in N}$ et $(b_{n})_{n \in N}$ sont dites adjacentes lorsque :

l'une est croissante
l'autre est décroissante
la suite $(a_{n} - b_{n})_{n \in N}$ converge vers 0

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes:

Si deux suites réelles $(a_{n})_{n \in N}$ et $(b_{n})_{n \in N}$ sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite $ℓ$ .
De plus, en supposant $(a_{n})_{n \in N}$ croissante et $(b_{n})_{n \in N}$ décroissante on a :

\forall n \in N, a_{n} \leq a_{n + 1} \leq ℓ \leq b_{n + 1} \leq b_{n}

Suites particulières

Suites de Cauchy

Dans ce paragraphe, on supposera que $(E, d)$ est un espace métrique.

Une suite $(u_{n})_{n \in N}$ est dite de Cauchy lorsque : $\forall η \in R_{+}^{*}$ , $\exists N \in N$ tels que : $\forall p \in N$ , $\forall q \in N$ , $p \geq N$ et $q \geq N$ $\Rightarrow d (u_{p}, u_{q}) \leq η$

On démontre que

Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Toute suite de Cauchy est bornée.

On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Suites extraites

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans un espace $E$ .

Si $N \to N, n \mapsto σ (n)$ est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite $(u_{σ (n)})_{n \in N}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite $(u_{n})_{n \in N}$ .

Grosso modo, c'est la suite $(u_{n})_{n \in N}$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Suites équivalentes et suites négligeables

Définition

Soient $(u_{n})_{n \in N}$ et $(v_{n})_{n \in N}$ deux suites à valeurs réelles. $(u_{n})_{n \in N}$ et $(v_{n})_{n \in N}$ sont équivalentes si et seulement si

$\exists$ $(ε n) n \in N$ telle que $lim_{n \to \infty} (ε_{n}) = 0$
$\exists N \in N$ tel que $\forall n \geq N, u_{n} = v_{n} . (1 + ε_{n})$

On note alors $u_{n} \sim v_{n}$

Remarque Si $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang, alors $u_{n} \sim v_{n}$ si et seulement si $lim_{n \to \infty} \frac{u _{n}}{v _{n}} = 1$

Définition

Soient $(u_{n})_{n \in N}$ et $(v_{n})_{n \in N}$ deux suites à valeurs réelles. On dit que $(u_{n})_{n \in N}$ est négligeable devant $(v_{n})_{n \in N}$ si et seulement si :

$\exists$ $(ε n) n \in N$ telle que $lim_{n \to \infty} (ε_{n}) = 0$ et $u_{n} = ε_{n} v_{n}$ , ce qu'on note u_n = o(v_n)

Remarque Si $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang, alors u_n = o(v_n) si et seulement si $lim_{n \to \infty} \frac{u _{n}}{v _{n}} = 0$

Exemple

Considérons $u_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ et $v_{n} = \frac{1}{n}$
Posons $ε_{n} = \frac{1}{n}$ On a alors :

$u_{n} = ε_{n} . v_{n}$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

D'où $\frac{1}{n ^{2}} = o (\frac{1}{n})$ et $\frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$

Remarque

L'usage (fréquent dans les articles de cette encyclopédie) du mot séquence est une mauvaise traduction de l'anglais sequence. La bonne traduction est suite.