Symbole de Levi-Civita

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Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions.

ε_{ij k} = δ_{i 1} δ_{i 2} δ_{i 3} δ_{j 1} δ_{j 2} δ_{j 3} δ_{k 1} δ_{k 2} δ_{k 3}

Ainsi $ε_{ij k}$ ne peut prendre que trois valeurs : -1, 0 ou 1.

En 3 dimensions on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

ε_{ij k} = ⎩ ⎨ ⎧ + 1 - 1 0 si (i, j, k) est (1, 2, 3), (2, 3, 1) ou (3, 1, 2), si (i, j, k) est (3, 2, 1), (1, 3, 2) ou (2, 1, 3), autrement: i = j ou j = k ou k = i,

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker:

ε_{ij k} ε_{l mn} = δ_{i l} δ_{j m} δ_{k n} + δ_{im} δ_{j n} δ_{k l} + δ_{in} δ_{j l} δ_{k m} - δ_{i l} δ_{j n} δ_{k m} - δ_{in} δ_{j m} δ_{k l} - δ_{im} δ_{j l} δ_{k n}

i = 1 \sum 3 ε_{ij k} ε_{imn} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}

i, j = 1 \sum 3 ε_{ij k} ε_{ij n} = 2 δ_{k n}

On peut démontrer que:

i, j, k, \dots = 1 \sum n ε_{ij k \dots} ε_{ij k \dots} = n!

est vrai en n dimensions.