Trigonométrie complexe

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Introduction

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

sin z = \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{2 i} = \frac{sinh i z}{i} = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k} z ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}

cos z = \frac{e ^{i z} + e ^{- i z}}{2} = cosh i z = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k} z ^{2 k}}{( 2 k )!}

tan z = \frac{sin z}{cos z} = - i \frac{sinh i z}{cosh i z} = - i tanh i z = - i \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{e ^{i z} + e ^{- i z}}

De même que leurs fonctions réciproques :

arcsin z = - i ln (i z + 1 - z^{2})

arctan z = \frac{i}{2} (ln (1 - i z) - ln (1 + i z))

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

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