Trigonométrie de Wildberger

La Trigonométrie de Wildberger (dite aussi trigonométrie rationnelle parce qu'elle n'a pas recours dans sa définion à des nombres irrationnels) constitue une réécriture de la trigonométrie exposée au grand public en septembre 2005 par Norman Wildberger, professeur associé en mathématiques à l'université de Nouvelle Galles du Sud à Sydney. Elle se distingue de la trigonométrie traditionnelle en évitant non seulement l'usage des fonctions trigonométriques classiques, mais même l'usage de nombres transcendants comme π dans l'écriture des formules.

On pratiquait depuis un quart de siècle la trigonométrie entière utilisée dès les premiers jeux graphiques sur ordinateur, afin d'éviter le recours aux fonctions flottantes dont le calcul était lent (jusqu'au 80486, les processeur de la gamme i386 n'avaient pas de coprocesseur arithmétique en standard). Cette trigonométrie simplifiée dont la résolution ne dépassait ni ne voulait dépasser la résolution du pixel présentait le double mérite :

• de sa simplicité de mise en œuvre (par utilisation intensive à la fois de tables et des formules du style sin(a + b) = sina*cosb + sinb*cosa, etc.
• d'une vitesse de calcul alors largement supérieure à celle du flottant

Toutefois, comme l'héliocentrisme de Copernic lors de son introduction, ce procédé n'était vu au mieux que comme une astuce, un moyen ad hoc de simplifier un problème dans un cadre précis. Il n'avait en aucune façon été tenté de réécrire toute la géométrie euclidienne dans ce cadre.

Wildberger retourne le problème en partant au contraire des méthodes d'addition des sinus et cosinus pris cette fois-ci comme axiomes de théorie, et développe une trigonométrie en nombres rationnels, en présentant cette construction comme plus satisfaisante pour l'esprit que l'introduction "classique". Celle-ci évite d'introduire la notion de nombre réel, abstraction certes intéressante en soi, mais qui n'a pas de signification ni de besoin d'être considérée dans le domaine du calcul purement numérique : il est toujours possible de pousser une précision aussi loin qu'on le désire en employant dans son système des rationnels comme tels sans avoir à postuler l'existence de réels à aucun moment du calcul.

Cette approche n'est pas sans rappeler historiquement la reprise de la géométrie d'Euclide uniquement par le compas, et sans avoir à utiliser la règle dans les constructions (Mohr et Mascheroni). Selon Wildberger, la construction de la trigonométrie est nettement simplifiée par cette méthode, et il est toujours possible de montrer par la suite que les axiomes choisis correspondent bien à ce qui est observé dans le monde euclidien.

Quadrance

Afin d'éviter le recours à la notion de racine carrée, c'est la notion de quadrance (carré de la distance) qui est utilisée dans cette trigonométrie. L'inégalité triangulaire restant respectée, cette modification légère n'a pas d'incidence sur l'ensemble.

Ouverture (spread)

Pour des raisons similaires, et avec les mêmes effets, les angles sont remplacés par des "ouvertures" (spread) qui présentent l'intérêt elles aussi de se calculer de façon simple en n'utilisant que l'arithmétique des nombres rationnels.

Wildberger n'a pour le moment achevé cette théorie que pour la géométrie plane.

La démarche de Wildberger s'apparente aux méthodes constructivistes à la mode depuis quelques années en mathématiques, et elles-mêmes influencées par les paradigmes de l'algorithmique.

Sur un plan épistémologique et plus généralement philosophique, on y retrouve aussi la traditionnelle complémentarité d'approche entre

• l'algorithmique des Babyloniens (où l'important est le résultat du calcul)

et

• l'abstraction générale plus typique des mathématiques et de la pensée grecques.

Bien que des applications de l'ordre de la Conception assistée par ordinateur, de la cartographie ou a fortiori des jeux vidéo puissent sembler triviales, ces domaines ont fortement à gagner d'avancées dans le domaine de la trigonométrie en nombre rationnels.

• pour résoudre de façon unifiée (c’est-à-dire sans bricolages ad hoc, et donc de façon aisément portable) les questions de grandes variations d'échelle qui limitent la plage de travail de logiciels comme CATIA : cette géométrie s'abstrait en effet des considérations de granulation introduites
• par l'architecture flottante
• par les différences considérables de résolution des unités de sortie
• par les fonctions approchées (polynômes) de calcul des irrationnels : des calculs sur les rationnels se font de façon exacte jusqu'à l'arrondi ou l'antialiasing final au moment de l'affichage, ce calcul pouvant être reporté sur une carte graphique conçue en ce sens
• afin de gagner largement en vitesse sur les temps de calcul

Cela ne représente toutefois qu'un simple intérêt anecdotique de la théorie, comme a pu l'être autrefois la synthèse d'image pour les fractales : intéressant pour la rendre visible, mais ne lui étant pas directement nécessaire.