Les corps
des rationnels et
des réels, munis de la relation d'ordre habituelle, sont des corps ordonnés.
Corps totalement ordonné
On appelle corps totalement ordonné un corps ordonné pour lequel la relation d'ordre est totale. Par exemple, les corps
des rationnels et
des réels, munis de la relation d'ordre habituelle, sont des corps totalement ordonnés.
En revanche, le corps
des nombres complexes ne peut pas être muni d'une structure de corps totalement ordonné.
Démonstration. On raisonne par l'absurde en supposant que
est muni d'une relation d'ordre compatible avec sa structure de corps, et le rendant totalement ordonné. On note
cette relation (on prendra cependant garde à ce qu'elle n'a a priori aucune raison de coïncider avec la relation d'ordre usuelle par restriction aux nombres réels). On note i l'un des deux nombres complexes de carré égal à − 1. Comme l'ordre est total, d'après la règle des signes et l'égalité i2 = − 1, on obtiendrait l'inégalité
. Cela entraînerait, par passage à l'opposé, l'inégalité
. Mais comme 0 et 1 sont comparables, on a nécessairement
, et l'on obtiendrait l'égalité 0 = 1, ce qui est une contradiction. Par conséquent, la relation d'ordre ne peut pas être à la fois totale et compatible avec la structure de corps de
.
Remarque. Il est en revanche aisé de définir sur
une relation d'ordre qui est soit totale, soit compatible avec sa structure de corps.
Exemple 1. La relation d'ordre lexicographique
, définie par
si, en notant z = x + iy et z' = x' + iy', avec x, y, x' et y' réels, on a soit x < x', soit x = x' et
,
(les réels étant comparés par la relation d'ordre usuelle) est totale mais n'est pas compatible avec la structure de corps. Sa totalité se déduit aisément de celle de la relation d'ordre usuelle sur les réels. Mais on a
et i2 = − 1 < lex0, ce qui contredit la règle des signes.
Exemple 2. La relation d'ordre de comparaison des parties réelles
, définie par
si, en notant z = x + iy et z' = x' + iy', avec x, y, x' et y' réels, on a
et y = y',
est compatible avec la structure de corps (car l'ordre sur les réels l'est), mais n'est pas totale. En particulier, les nombres 0 et i ne sont pas comparables pour cette relation.
