Corps ordonné - Définition

Introduction

En algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d'un corps , muni d'une relation d'ordre (notée dans l'article) compatible avec la structure de corps.

Dans tout l'article, on note naturellement la relation d'ordre réciproque de , et l'on note < et > les relations d'ordre strict respectivement associées à et . On note par ailleurs 0 l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication. Enfin, on note x ^{− 1} l'inverse d'un élément x non nul de .

La majeure partie des résultats énoncés (ceux ne faisant pas intervenir la notion d'inverse) peut s'étendre aux anneaux.

Définitions

Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre est compatible avec la structure de corps de si les deux conditions suivantes sont réunies.

1. Le groupe additif est un groupe ordonné par la relation d'ordre (c'est-à-dire que celle-ci est compatible avec l'addition).
2. On a, pour tous éléments x et y du corps tels que et , l'inégalité (la relation d'ordre est compatible avec la multiplication).

Par commodité, on dira par la suite qu'un élément x de est positif si l'on a , et qu'il est négatif si l'on a (on remarquera, par antisymétrie de la relation d'ordre , que 0 est l'unique élément du corps à la fois positif et négatif).

Propriétés

On dispose d'abord des propriétés liées à la compatibilité de l'addition avec la relation d'ordre (voir l'article groupe ordonné pour leur démonstration, avec d'autres notations).

• Addition membre à membre d'inégalités. Pour tous éléments x, y, x' et y' de tels que et , on a .
• Passage à l'opposé dans une inégalité en en changeant le sens. Pour tous éléments x et y tels que , on a .

On dispose par ailleurs de propriétés liées à la compatibilité de la multiplication avec la relation d'ordre.

• Règle des signes.
  1. Pour tous éléments x et y de tels que et , on a l'inégalité .
  2. Pour tous éléments x et y de tels que et , on a l'inégalité .
  3. Pour tous éléments x et y de tels que et , on a l'inégalité .

Cela se déduit aisément du deuxième axiome de la définition de la compatibilité, en utilisant le fait qu'un élément négatif est l'opposé d'un élément positif, et que l'opposé d'un élément est obtenu en le multipliant (à gauche ou à droite) par l'opposé de l'unité 1.

• Si 0 et 1 sont comparables, on a nécessairement .

En effet, on a , et si 0 et 1 sont comparables, on a soit , soit , mais la règle des signes permet d'éliminer la seconde possibilité.

• Multiplication membre à membre d'inégalités entre éléments positifs. Pour tous éléments , y, et y' de tels que et , on a .

Démonstration. Les hypothèses se traduisent par les inégalités et et il s'agit de prouver l'inégalité . Il suffit pour y parvenir d'utiliser la décomposition

,

le membre de droite de cette inégalité étant positif en tant que somme de deux produits d'éléments positifs (la positivité de y' découlant de celle de x' et de la transitivité de la relation d'ordre ).

On remarquera que l'hypothèse peut être affaiblie en permettant à l'un des éléments x, x', y et y' d'être strictement négatif, mais pas plus. Par exemple, dans le corps des rationnels, on a et , mais on a .

• Passage à l'inverse dans une inégalité entre éléments strictement positifs, en en changeant le sens. Pour tous éléments x > 0 et y de tels que x ^{− 1} > 0, y ^{− 1} > 0 et , on a .

Pour le prouver, il suffit d'appliquer la règle de multiplication membre à membre aux trois inégalités , et (dans cet ordre). On remarquera que si la relation d'ordre est totale, les hypothèses x ^{− 1} > 0 et y ^{− 1} > 0 sont superflues.