Logique de description - Définition

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Définition des logiques de description

La plupart des logiques de description divisent la connaissance en deux parties :

les informations terminologiques: définition des notions basiques ou dérivées et de comment elles sont reliées entre elles. Ces informations sont "génériques" ou "globales", vraies dans tous les modèles et pour tous les individus.
les informations sur les individus: ces informations sont "spécifiques" ou "locales", vraies pour certains individus particuliers.

Toutes les informations connues sont alors modélisées comme un couple $\langle T,A \rangle$ , où $T$ est un ensemble de formules relatives aux informations terminologiques (la T-Box) et $A$ est un ensemble de formules relatives aux informations sur les assertions (la A-Box).

Une autre manière de voir la séparation entre ces informations, est d'associer la T-Box aux règles qui régissent notre monde (e.g., la physique, la chimie, la biologie, ...), et d'associer les individus de notre monde à la A-Box (e.g., Jean, Marie, un chat, ...).

La sémantique

Les logiques de description utilisent les notions de concept, de rôle et d'individu. Les concepts correspondent à des "classes d'éléments" et sont interprétés comme un ensemble dans un univers donné. Les rôles correspondent aux "liens entre les éléments" et sont interprétés comme des relations binaires sur un univers donné. Les individus correspondent aux éléments d'un univers donné. La sémantique des logiques de description est définie comme suit :

Définition 1 :

Soit

un ensemble fini de concepts atomiques,

un ensemble fini de rôles atomiques et

un ensemble fini d'individus. Pour

C O N

R O L

I N D

disjoint deux à deux,

est une signature. Une fois qu'une signature

est fixée, une interprétation

pour

est un tuple

, où :

$\Delta^\mathcal{I}$ est un ensemble non-vide.
$\cdot^\mathcal{I}$ est une fonction assignant :
- un élément $a_i^\mathcal{I} \in \Delta^\mathcal{I}$ à chaque individu $a_i \in IND$ ;
- un sous-ensemble $C_i^\mathcal{I} \subseteq \Delta^\mathcal{I}$ à chaque concept atomique $C_i \in CON$ ;
- et une relation $R_i^\mathcal{I} \subseteq \Delta^\mathcal{I} \times \Delta^\mathcal{I}$ à chaque rôle atomique $R_i \in ROL$ .

En d'autres mots, une interprétation de la logique de description n'est rien de plus qu'un modèle pour un type particulier de signature du première ordre, où seulement les prédicats unaires et binaires sont autorisés et l'ensemble des symboles de fonctions est vide.

La base de connaissance

Typiquement, la base de connaissance standard utilisée par les logiques de description est définie de la manière suivante :

Définition 2 :

Étant donné un langage de description

et une signature

, une base de connaissance

Σ

dans

est une paire

tel que :

$T$ est la T(erminologique)-Box, un ensemble fini, qui peut être vide, d'expressions appelées GCI (General Concept Inclusion) de la forme $C_1 \sqsubseteq C_2$ où $C 1$ et $C 2$ sont des concepts sans restriction. $C_1 \dot{=} C_2$ est une notation pour $C_1 \sqsubseteq C_2$ et $C_2 \sqsubseteq C_1$ . Les formules de $T$ sont appelées des axiomes terminologiques.
$A$ est la A(ssertion)-Box, un ensemble fini, qui peut être vide, d'expressions de la forme $a : C$ ou $(a, b): R$ où $C$ est un concept sans restriction, $R$ un rôle qui n'est pas forcément atomique et $a$ , $b$ appartiennent à $I N D$ . Les formules de $A$ sont appelées des assertions.

Les axiomes terminologiques ont été pensés à l'origine comme une définition, et nombre de conditions plus restrictives ont été imposées. Les deux restrictions les plus importantes sont les suivantes :

axiome terminological simple : dans tous les axiomes terminologiques $C_1 \sqsubseteq C_2$ , $C 1$ est un concept atomique dans $C O N$ , et chaque concept atomique dans $C O N$ apparaît au plus une fois dans la partie gauche d'un axiome terminologique de la T-Box.
définition acyclique : le graphe obtenu en assignat un nœud $n A$ à chaque concept atomique $A$ de la T-Box, et un arc orienté entre deux nœuds $n A$ et $n B$ s'il existe un axiome terminologique $C_1 \sqsubseteq C_2$ dans $T$ tel que $A$ apparaît dans $C 1$ et $B$ dans $C 2$ , ne contienne pas de cycles.

Ces restrictions sont liées à l'idée de considérer les axiomes terminologiques comme des définitions de concepts.

Les différentes logiques de description

Les logiques de descriptions ont une base commune enrichie de différentes extensions (voir tableau ci-dessous). On peut dès lors avoir des concepts complexes composés de concepts atomiques, et de même pour les rôles.

Lettre	Constructeur	Syntaxe	Sémantique
$\mathcal{AL}$	nom de concept	$C$	$C^\mathcal{I}$
$\mathcal{AL}$	top	$\top$	$\Delta^\mathcal{I}$
$\mathcal{C}$	négation de concepts non nécessairement primitifs	$\neg C$	$\Delta^\mathcal{I} \setminus C^\mathcal{I}$
$\mathcal{AL}$	conjonction	$C_1 \sqcap C_2$	$C_1^\mathcal{I} \cap C_2^\mathcal{I}$
$\mathcal{U}$	disjonction	$C_1 \sqcup C_2$	$C_1^\mathcal{I} \cup C_2^\mathcal{I}$
$\mathcal{AL}$	quantificateur universel	$\forall R.C$	$\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \forall d_2 \in \Delta^\mathcal{I}.(R^\mathcal{I}(d_1,d_2) \rightarrow d_2 \in C^\mathcal{I}) \rbrace$
$\mathcal{E}$	quantificateur existentiel typé	$\exists R.C$	$\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \exists d_2 \in \Delta^\mathcal{I}.(R^\mathcal{I}(d_1,d_2) \wedge d_2 \in C^\mathcal{I}) \rbrace$
$\mathcal{N}$	restriction de nombre	$(\geq n~R)$ $(\leq n~R)$	$\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \lbrace d_2 \vert R^\mathcal{I}(d_1,d_2) \rbrace \vert \geq n \rbrace$ $\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \lbrace d_2 \vert R^\mathcal{I}(d_1,d_2) \rbrace \vert \leq n \rbrace$
$\mathcal{Q}$	restriction de nombre qualifiée	$(\geq n~R.C)$ $(\leq n~R.C)$	$\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \lbrace d_2 \vert R^\mathcal{I}(d_1,d_2),d_2 \in C^\mathcal{I} \rbrace \vert \geq n \rbrace$ $\lbrace d_1\in\Delta^\mathcal{I} \mid \lbrace d_2 \vert R^\mathcal{I}(d_1,d_2),d_2 \in C^\mathcal{I} \rbrace \vert \leq n \rbrace$
$\mathcal{O}$	un-de	$\lbrace a_1,\dots,a_n \rbrace$	$\lbrace d \in\Delta^\mathcal{I}\mid d = a_i^\mathcal{I} \texttt{~pour~un~} a_i \rbrace$
$\mathcal{B}$	role filler	$\exists R.\lbrace a \rbrace$	$\lbrace d \in\Delta^\mathcal{I}\mid R^\mathcal{I}(d,a^\mathcal{I}) \rbrace$
$\mathcal{AL}$	nom de rôle	$R$	$R^\mathcal{I}$
$\mathcal{R}$	conjonction de rôles	$R_1 \sqcap R_2$	$R_1^\mathcal{I} \cap R_2^\mathcal{I}$
$\mathcal{I}$	rôles inverses	$R - 1$	$\lbrace (d_1,d_2)\in\Delta^\mathcal{I}\times\Delta^\mathcal{I} \mid R^\mathcal{I}(d_2,d_1) \rbrace$
$\mathcal{H}$	hiérarchie des rôles	$R_1\sqsubseteq R_2$	$R_1^\mathcal{I} \subseteq R_2^\mathcal{I}$
$\mathcal{R^+}$	transitivité des rôles	$R +$	Plus petite relation transitive contenant $R^\mathcal{I}$

L'une des premières logiques de description est le langage $\mathcal{FL^-}$ [Brachman and Levesque, 1984], qui est défini comme une logique de description permettant l'utilisation des quantificateurs universels, de la conjonction, et des quantificateurs existentiels de la forme $\exists R.\top$ . Le langage $\mathcal{FL^-}$ a été proposé comme un formalisme pour la sémantique des cadres de Minsky. La conjonction de concepts est implicite dans la structure d'un cadre, qui requiert un ensemble de conditions pour être satisfait. La quantification des rôles permet de caractériser les slots.

La logique $\mathcal{AL}$ [Schmidt-Schauss and smolka, 1991], a étendu la logique $\mathcal{FL^-}$ en y ajoutant la négation des concepts atomiques. Cette logique peut-être considérée comme la logique de base des autres logiques de descriptions.

Les logiques de description qui existent sont des combinaisons des différents éléments du tableau ci-dessus. Par exemple, si on rajoute la négation complète $\mathcal{C}$ à la logique $\mathcal{AL}$ , on obtient la logique $\mathcal{ALC}$ .

Certaines logiques sont équivalentes, notamment $\mathcal{ALC}$ et $\mathcal{ALUE}$ . Ces deux logiques augmentées par $\mathcal{R}^+$ sont notées $\mathcal{S}$ . Les langages utilisés par OWL en sont une extension, respectivement $\mathcal{SHIF}$ pour OWL-Lite et $\mathcal{SHOIN}$ pour OWL-DL.

Inférences

En LD, la notion d'inférence est décrite comme ci-dessous:

Définition 3 :

Soit

une interprétation et

un axiome terminologique ou une assertion. Alors

modélise

(notation

) si :

$\varphi = C_1 \sqsubseteq C_2$ et $C_1^\mathcal{I} \subseteq C_2^\mathcal{I}$ , ou
$\varphi = a:C$ et $a^\mathcal{I} \in C^\mathcal{I}$ , ou
$\varphi = (a,b):R$ et $(a^\mathcal{I},b^\mathcal{I}) \in R^\mathcal{I}$ .

Soit $\Sigma = \langle T,A \rangle$ une base de connaissance et $\mathcal{I}$ une interprétation, alors $\mathcal{I}$ est un modèle de $Σ$ (notation, $\mathcal{I} \models \Sigma$ ) si pour tous $\varphi \in T \cup A, \mathcal{I} \models \varphi$ . Nous disons dans ce cas que $\mathcal{I}$ est un modèle de la base de connaissance $Σ$ . Étant donné une base de connaissance $Σ$ et un axiome terminologique ou une assertion $\varphi$ , $\Sigma \models \varphi$ si pour tout modèle $\mathcal{I}$ de $Σ$ nous avons $\mathcal{I} \models \varphi$ .

Les tâches de raisonnement

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