Sous-ensemble - Définition et Explications

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Introduction

L'ensemble A est inclus dans l'ensemble B. On dit que A est sous-ensemble de B, ou que B est sur-ensemble de A.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments de B qui ne sont pas éléments de A (voir le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées,...) à droite). La relation entre A et B s'appelle l'inclusion.

Définitions

Inclusion, sous-ensembles et sur-ensembles

Soient deux ensembles A et B. Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), A est inclus dans B si tout élément de A est un élément de B. En notation symbolique, l’inclusion est notée le plus souvent « ⊂ ». On a alors par définition (« ⇒ » désigne l'implication logique) :

AB    signifie    ∀ x (xAxB) .

Par conséquent l'ensemble A n'est pas inclus dans l'ensemble B si et seulement s'il existe un élément de A qui n'appartient pas à B :

AB    si et seulement si    ∃ x (xA et xB) .

Par exemple l'ensemble des entiers naturels non nuls N* est inclus dans l'ensemble des entiers naturels N, de même que l'ensemble des entiers naturels pairs 2N, mais 2N n'est pas inclus dans N* car 0 ∈ 2N, mais 0 ∉ N* :

N*N, 2NN, 2NN*.

On peut remarquer que, comme il existe des entiers naturels non nuls qui ne sont pas pairs, 1 par exemple, N* n'est pas non plus inclus dans 2N : N* ⊄ 2N. On dit alors que ces deux ensembles ne sont pas comparables pour l'inclusion.

L'inclusion peut se dire de plusieurs façons, « AB » peut aussi se lire :

  • « A est contenu dans B »,
  • « A est une partie de B »,
  • ou « A est un sous-ensemble de B ».

et peut aussi s'écrire « BA », qui se lit :

  • « B inclut A »,
  • « B contient A »,
  • « B est une extension de A »,
  • ou « B est un sur-ensemble de A ».

Il faut prendre garde cependant à l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du terme « contient » qui est ambigu, il peut parfois se référer à l'appartenance : A contient x peut parfois signifier que Ax (c'est-à-dire xA).

Définition en compréhension

Une propriété des éléments d'un ensemble définit un sous-ensemble de celui-ci. Ainsi, en reprenant l'un des exemples ci-dessus, la propriété « être pair » définit, sur l'ensemble des entiers naturels N, l'ensemble 2N des entiers pairs. On dit que l'ensemble a été défini par compréhension et on note :

2N={nN | n est pair} = {nN | (∃qN) n=2q}

Toute propriété (quand on l'exprime dans un langage précis on parle de prédicat de ce langage) définit par compréhension un sous-ensemble d'un ensemble donné.

Inclusion stricte et sous-ensembles propres

Remarquons qu'un ensemble est toujours sous-ensemble de lui-même (voir proposition 2 ci-dessous). Il peut être nécessaire d'exclure ce cas et de ne considérer que des sous-ensembles différents de l'ensemble lui-même. C'est pourquoi on définit une inclusion stricte, notée « ⊊ » . Un ensemble A est strictement inclus dans un ensemble B si et seulement si A est inclus dans B sans lui être égal :

A \subsetneq B   signifie    A \subset B et A \neq B

L'inclusion habituelle peut alors être qualifiée d’inclusion large, s'il y a risque d'ambiguïté.

À part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Ces deux sous-ensembles sont parfois dits « triviaux ».

Une partie de A distincte de A lui-même est appelée un sous-ensemble propre de A.

Ainsi, en reprenant l'exemple du paragraphe précédent, l'ensemble des entiers naturels pairs 2N, comme l'ensemble des entiers naturels non nuls N*, sont des sous-ensembles propres de l'ensemble des entiers naturels N.

Ensemble des parties

L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E donné est appelé ensemble des parties de E, et noté habituellement « \mathcal P(E) », ou (écriture gothique) « \ _\mathfrak P (E) », voire simplement « P(E) » (lire dans tous les cas « P de E » ).
On a ainsi :

X\mathcal P(E)   si et seulement si   XE.

Par exemple si A = { a, b }, alors \mathcal P(A) = { Ø, { a }, { b }, A }.

Dans ce cas on aura par exemple aA, donc {a} ⊂ A, c'est-à-dire {a} ∈ \mathcal P(A).

Les propriétés de l'ensemble des parties, en particulier celles ayant trait à la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...), sont détaillées dans l'article ensemble des parties d'un ensemble. Pour le cas fini, qui relève de la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...), voir aussi l'article combinaison (Une combinaison peut être :).

Fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :)

Un sous-ensemble A d'un ensemble E peut être défini par sa fonction caractéristique   χA \ _{ : \ E \rightarrow \{ 0 , 1 \} } , définie par χA(x) vaut 1 si x est élément de A, et 0 sinon :

 \forall x \in E[ \chi_A(x) = 1  \Leftrightarrow  x \in A ]

et donc (χA étant à valeurs dans {0,1})

 \forall x \in E[\chi_A( x) = 0  \Leftrightarrow  x \not\in A ]

Réciproquement toute fonction χ de E dans {0,1} définit un sous-ensemble de E qui est {xE | χ(x)=1}. On a donc une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) bijective entre les sous-ensembles de E et les fonctions de E dans {0,1}, c'est-à-dire entre \ _\mathcal P(E) et {0,1}E.

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