Loi de composition interne - Définition

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E, ); la loi peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

• est dite unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite;

• est dite unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche;

• est dite unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre , c’est-à-dire si :

Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite;

L’élément neutre d’une loi unifère est unique;

• est dite absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite;

• est dite absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite , c’est-à-dire si :

Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;

• est dite absorbante s’il existe un élément absorbant , c’est-à-dire si :

Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite;

L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique;

• est dite dévolutive s’il existe un élément dévolutif , c’est-à-dire si :

L’élément dévolutif d’une loi dévolutive est unique;

• est dite involutive à gauche si elle est unifère à gauche et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive à gauche si et seulement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l’élément neutre à gauche est l’élément dévolutif.

• est dite involutive à droite si elle est unifère à droite et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive à droite si et seulement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l’élément neutre à droite est l’élément dévolutif.

• est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs, c’est-à-dire si :

Une loi est involutive si et seulement si elle est unifère et dévolutive, et l’élément neutre est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente à gauche si elle est absorbante à gauche et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente à gauche si et seulement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l’élément absorbant à gauche est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente à droite si elle est absorbante à droite et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente à droite si et seulement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l’élément absorbant à droite est l’élément dévolutif.

• est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents, c’est-à-dire si :

Une loi est nilpotente si et seulement si elle est absorbante et dévolutive, et l’élément absorbant est l’élément dévolutif.

Régularité et propriétés liées

• est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :

• est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :

• est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :

Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.

• est dite antirégulière ou cosimplifiable si tous les éléments de E sont antiréguliers, c’est-à-dire si :

• est dite symogène s’il existe pour chaque couple ( a, b ) de E ² une solution ( x, y ) unique aux équations   a x = b   et   y a = b  , c’est-à-dire si :

Cette propriété est plus forte que la régularité : une loi symogène est nécessairement régulière. Toutefois, dans le cas d'un magma fini, symogénéité et régularité sont équivalentes.

Associativité et propriétés analogues

• est dite associative ssi :

On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des correspondances,...).

• est dite alternative ssi :

Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.

• est dite associative des puissances ssi :

Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi alternative est nécessairement associative des puissances.

Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) :

- la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement « x ⁿ  », est égale au résultat de la composition de x selon , (n - 1) fois avec lui-même; ainsi   x ¹ = x ;   x ² = x x ;   x ³ = x x x ;...

- si, de plus, la loi présente un élément neutre e, on pose alors   x ⁰ = e

- si, de plus, la loi est inversible (voir plus bas), on pose alors   x ^-n = (x ⁿ ) ^-1

• est dite permutative ssi :

Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus.

Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi associative et commutative est nécessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nécessairement permutative, et qu’une loi permutative, même commutative, n’est pas nécessairement associative.

(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans et la division dans , ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...).

• est dite neutroactive ssi :

Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi associative est nécessairement neutroactive.

Autres propriétés

• est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si :

• est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si :

• est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si :

;

Les lois commutatives sont notées par « + », «   » ou «   » plutôt que par «   ».

Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans ) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans ).

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

• Une loi peut être distributive par rapport à une autre loi (par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) :

Cette propriété se décompose en deux parties :

- distributivité à gauche :

- distributivité à droite :

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi . Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.