Soustraction
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Introduction

La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la différence.

Soustraire signifie diminuer en comptant.
Soustraire b de a (calculer a − b) c'est trouver le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) qui complèterait b pour donner a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d = a

Le signe de soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour...) est le symbole « − ». Par exemple : on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux font un ».

Définition générale

Soit (G, +) un groupe additif. On définit une nouvelle loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui...) dans G, appelée  « soustraction » et notée  «  »  par  :

  • x - y = x + (-y)~

La soustraction est anticommutative.

Cas particulier des nombres

Ici nous travaillons dans ( \mathbb Z , + )~ ,  le groupe additif des nombres entiers relatifs.

Formellement, la soustraction est une loi de composition interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable...) sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être...), notée - à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie ( ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble des entiers naturels \mathbb N ). Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car

  • elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
  • elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
  • elle ne possède pas d'élément neutre. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et on a bien
a − 0 = a, mais en général
0 − a est différent de a.

C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont...) à condition évidemment que cet opposé existe ( ce n'est pas toujours le cas dans \mathbb N ).

L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0
a − b peut alors s'écrire a + (−b)

Lorsqu’elle est appliquée sur une série comme en algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de résolution, par le calcul, d'un...) c’est un décrément.

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