Conjecture d'Euler
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En mathématiques, la conjecture d'Euler, est une conjecture refutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, et qui s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances ne n'est pas une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) ne.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

\forall n > 2, \forall (a_1, \dots, a_{n-1}) \in (\mathbb{N}^*)^{n-1}, \forall m > 1, \sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne m^n

Cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 (lien) grâce au contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un...) suivant :

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.

En 1988, Noam Elkies trouva une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...), des techniques suggérées par Elkies :

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

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