Conjecture d'Euler - Définition

En mathématiques, la conjecture d'Euler, est une conjecture refutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, et qui s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n^e n'est pas une puissance n^e.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

2, \forall (a_1, \dots, a_{n-1}) \in (\mathbb{N}^*)^{n-1}, \forall m > 1, \sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne m^n" />

Cette conjecture fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 (lien) grâce au contre-exemple suivant :

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

En 1988, Noam Elkies trouva une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.