Conjecture - Définition

Introduction

En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple. Afin de simplifier le travail de vérification, il est classique de formuler des variantes d'une conjecture, soit sous une forme plus faible (a priori plus facile à démontrer), soit sous une forme plus forte (plus facile à réfuter). En attendant, la conjecture peut être choisie comme hypothèse ou postulat pour étudier d'autres énoncés.

Si une conjecture se révèle indécidable à partir des axiomes usuels, elle peut être choisie comme nouvel axiome (ou réfutée par un nouvel axiome).

Dans la vie de tous les jours, une conjecture est une hypothèse qui n'a encore reçu aucune confirmation.

Antichambre d'un théorème ou pièce instable du puzzle mathématique ?

Quand il se trouve – après un travail mathématique rigoureux de démonstration – qu'une conjecture est démontrée, elle devient théorème et rejoint le royaume des faits mathématiques. Jusqu'à ce stade ultime de véracité, les mathématiciens doivent donc faire extrêmement attention lorsqu'ils font appel à une conjecture dans leurs structures logiques et leurs démonstrations.

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est une conjecture de la théorie des nombres qui énonce (entre autres choses) des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. Dans l'attente de sa démonstration éventuelle, certains mathématiciens développent d'autres démonstrations qui reposent sur la véracité de cette conjecture. Cependant, ces « démonstrations » tomberaient en morceaux si cette hypothèse de Riemann se révélait fausse. Il y a donc un intérêt mathématique majeur à démontrer ou réfuter des conjectures mathématiques pendantes.

Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple, qui réfuterait immédiatement la conjecture considérée, sauf cas particulier d'une preuve par l'exemple explicite. Par exemple, la conjecture de Syracuse – qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers – a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à deux élevé à la puissance 62-ième (soit plus de quatre milliards de milliards). Cependant, elle a toujours le statut de conjecture, car on ne peut exclure l'existence d'un contre-exemple au-delà de 2⁶² qui viendrait l'infirmer, bien que l'on sache par des arguments probabilistes que de tels contre-exemples deviennent de plus en plus rares au fur et à mesure que l'on progresse vers des nombres de plus en plus grands, mais « forte vraisemblance » n'est pas « certitude ».

Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. Par exemple, l'hypothèse du continu - qui essaye d'établir la cardinalité relative de certains ensembles infinis - s'est avérée indécidable à partir de l'ensemble des axiomes généralement admis de la théorie des ensembles. Il est donc possible d'adopter cette assertion, ou sa négation, comme nouvel axiome tout en restant cohérent (comme nous pouvons également accepter le postulat de la parallèle d'Euclide comme vrai ou faux). Pire, le théorème d'incomplétude de Gödel montre que dans toute théorie qui contient l'arithmétique, il existe des propositions qui, quoique démontrables pour chacun des entiers (chaque instance de la proposition par un entier est démontrable), ne peuvent pas être démontrées en tant que théorème sur tous les entiers.