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Contre-exemple

Introduction

En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture, c'est-à-dire un énoncé que les gens (et en particulier les mathématiciens) pensaient vrai.

Négation d'une généralité

La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...) d'un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture,...) est une méthode utilisée pour prouver que certaines affirmations, prétendant à un certain caractère de généralité (i.e. les propositions universelles), sont fausses. Quand un énoncé commence par «  Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) .... », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe ... ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que ne soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) du contre-exemple.

Contrairement à la vie (La vie est le nom donné :) courante, où il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de dire que l'exception confirme la règle, en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...), l'existence d'une exception infirme la règle.

Cette méthode est utilisée très tôt dans la pratique mathématique soit pour mettre à bas une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.), soit pour prouver qu'une propriété n'est pas réalisée.

Ainsi pour prouver qu'une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) f n'est pas paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :), il suffit d'exhiber un seul réel x pour lequel f(x) diffère de f(-x) alors qu'il faudrait, pour prouver que la fonction est paire démontrer que l'égalité f(x) = f(-x) est vraie pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire l'ensemble...) de f.

Contre-exemple en pédagogie

En pédagogie, la donnée de contre-exemples permet de mettre en évidence la nécessité de la présence de chacune des hypothèses d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...).

Contre-exemple et conjecture

Dans la recherche mathématique, il est fréquent que soient émises des conjectures, c'est-à-dire des propriétés que l'on pense être justes. La découverte d'un contre-exemple permet d'arrêter la recherche d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) ou d'affiner les hypothèses nécessaires à la réalisation de la conclusion.

C'est ainsi que Fermat  conjectura que tous les nombres  \ F_n = 2 ^{2 ^n}+1 (où n est un entier naturel quelconque ; ils sont appelés nombres de Fermat) sont premiers ,  car il avait constaté que les nombres  \ F_0,  \ F_1,  \ F_2,  \ F_3 et  \ F_4 l'étaient.

Euler prouva que cette conjecture était fausse en exhibant le contre-exemple suivant :  il calcula tout simplement  \ F_5, qui vaut 4294967297 et qui est divisible par 641.

De même, la conjecture « Une fonction dérivable est-elle intégrale indéfinie ( On appelle intégrale indéfinie d'une fonction f d'une variable réelle x, à valeurs réelles ou complexes ou dans un espace vectoriel de dimension finie sur ou , et on note toute solution, sur un intervalle ouvert non vide I à préciser, de...) de sa dérivée ? »" et la découverte de multiples contre-exemples comme celui de l'escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite régulière de marches, les degrés, permettant d'accéder à un étage, de passer d'un...) de Cantor ont permis aux mathématiciens d'affiner les concepts d'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et...) et de primitive.

Trouver un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est fausse est souvent tout aussi difficile que de trouver une démonstration pour prouver qu'une proposition est vraie. De même, vouloir faire une preuve par l'exemple est souvent tout aussi difficile qu'une démonstration directe (Dans une démonstration directe, pour montrer que , on commence par supposer que P est vraie, et on en déduit qu'alors Q doit nécessairement être vraie.) (sauf cas immédiat de preuve par l'exemple de propriétés existentielle).

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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