Contre-exemple - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture, c'est-à-dire un énoncé que les gens (et en particulier les mathématiciens) pensaient vrai.

Négation d'une généralité

La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) d'un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat...) est une méthode utilisée pour prouver que certaines affirmations, prétendant à un certain caractère de généralité (i.e. les propositions universelles), sont fausses. Quand un énoncé commence par «  Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) .... », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe ... ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que ne soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) du contre-exemple.

Contrairement à la vie (La vie est le nom donné :) courante, où il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de dire que l'exception confirme la règle, en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), l'existence d'une exception infirme la règle.

Cette méthode est utilisée très tôt dans la pratique mathématique soit pour mettre à bas une conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...), soit pour prouver qu'une propriété n'est pas réalisée.

Ainsi pour prouver qu'une fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux...) f n'est pas paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts...), il suffit d'exhiber un seul réel x pour lequel f(x) diffère de f(-x) alors qu'il faudrait, pour prouver que la fonction est paire démontrer que l'égalité f(x) = f(-x) est vraie pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l'...) de f.

Contre-exemple en pédagogie

En pédagogie, la donnée de contre-exemples permet de mettre en évidence la nécessité de la présence de chacune des hypothèses d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...).

Contre-exemple et conjecture

Dans la recherche mathématique, il est fréquent que soient émises des conjectures, c'est-à-dire des propriétés que l'on pense être justes. La découverte d'un contre-exemple permet d'arrêter la recherche d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) ou d'affiner les hypothèses nécessaires à la réalisation de la conclusion.

C'est ainsi que Fermat  conjectura que tous les nombres  \ F_n = 2 ^{2 ^n}+1 (où n est un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) quelconque ; ils sont appelés nombres de Fermat) sont premiers ,  car il avait constaté que les nombres  \ F_0,  \ F_1,  \ F_2,  \ F_3 et  \ F_4 l'étaient.

Euler prouva que cette conjecture était fausse en exhibant le contre-exemple suivant :  il calcula tout simplement  \ F_5, qui vaut 4294967297 et qui est divisible par 641.

De même, la conjecture « Une fonction dérivable est-elle intégrale indéfinie ( On appelle intégrale indéfinie d'une fonction f d'une variable réelle x, à valeurs réelles...) de sa dérivée ? »" et la découverte de multiples contre-exemples comme celui de l'escalier (L’escalier est une construction architecturale constituée d'une suite...) de Cantor ont permis aux mathématiciens d'affiner les concepts d'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) et de primitive.

Trouver un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est fausse est souvent tout aussi difficile que de trouver une démonstration pour prouver qu'une proposition est vraie. De même, vouloir faire une preuve par l'exemple est souvent tout aussi difficile qu'une démonstration directe (Dans une démonstration directe, pour montrer que , on commence par supposer que P est vraie, et on...) (sauf cas immédiat de preuve par l'exemple de propriétés existentielle).

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