Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(A,+,\cdot ,\times )$ est une algèbre sur le corps $\mathbb{K}$, ou simplement une $\mathbb{K}$- algèbre si :

1. $\mathbb{K}$ est un corps commutatif,
2. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$,
3. la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
4. la loi × est distributive par rapport à la loi + .
5. pour tout (a, b) dans ${\mathbb{K}}^2$ et pour tout (x, y) dans A, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Soient $\mathbb{K}$ un corps commutatif et A un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x,y\in A,xy$, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que $\forall x,y,z\in A$ (vecteurs) et $\forall a,b\in \mathbb{K}$ (scalaires), ces identités sont vraies :

• $(x+y)z=xz+yz$;
• $x(y+z)=xy+xz$;
• $(ax)(by)=(ab)(xy)$,

alors A est une algèbre sur $\mathbb{K}$. On dit que A est une $\mathbb{K}$-algèbre où $\mathbb{K}$ est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur $\mathbb{K}$ sont isomorphes s'il existe une bijection $f:A\to B$ telle que f(x**y) = f(x)f(y) $\forall x,y\in A$, f(x + a**y) = f(x) + a**f(y) $\forall x,y\in A$ et a $\in \mathbb{K}$.

Généralisation

Dans la définition, $\mathbb{K}$ peut être un anneau commutatif unitaire, dans ce cas, A et $\mathbb{K}$ forment un module. On dit que A est une $\mathbb{K}$-algèbre et $\mathbb{K}$ est l'anneau de base de A.

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel.

Si $a=(a_i{)}_{i\in I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^k{)}_{i,j,k\in I}$ d'éléments du corps K tels que :

$a_i\times a_j=\sum _{k\in I}{c}_{i,j}^k{a}_k$.

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^k{)}_{i,j,k\in I}$ sont les constantes de structure de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations $a_i\times a_j={\sum }_{k\in I}{c}_{i,j}^k{a}_k$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A.

Algèbres associatives et commutatives

• L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb{C},+,\cdot ,\times )$ est une $\mathbb{R}$- algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.

Une base de l'algèbre $\mathbb{C}$ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

• Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (${\mathbf{F}}_p=\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$), donc son ordre est p.

Par exemple le corps fini ${\mathbf{F}}_4$ est une algèbre de dimension 2 sur le corps ${\mathbf{F}}_2=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

• On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives

• L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n⩾2$ à valeur dans $\mathbb{R}$, $\left({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),+,\cdot ,\times \right)$ est une $\mathbb{R}$- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n.
• L'ensemble des quaternions $(\mathbb{H},+,\cdot ,\times )$ est une $\mathbb{R}$- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
• L'ensemble des biquaternions $(\mathbb{B},+,\cdot ,\times )$ est une $\mathbb{C}$-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $\left({\mathcal{M}}_2(\mathbb{C}),+,\cdot ,\times \right)$ des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans $\mathbb{C}$.

Algèbre unifère non associative

• L'ensemble des octonions $(\mathbb{O},+,\cdot ,\times )$ est une $\mathbb{R}$- algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

• L'espace euclidien ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit vectoriel $({\mathbb{R}}^3,+,\cdot ,\wedge )$ est une $\mathbb{R}$- algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ($\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$) est :

• L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n⩾2$ à valeur dans $\mathbb{R}$, muni du crochet de Lie : [M,N] = M**N − N**M, $\left({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),+,\cdot ,[,]\right)$ est une $\mathbb{R}$- algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

• L'ensemble des quaternions $(\mathbb{H},+,\cdot ,\times )$ n'est pas une $\mathbb{C}$-algèbre car la multiplication $\times$ n'est pas $\mathbb{C}$-bilinéaire : $i\cdot (j\times k)\ne j\times (i\cdot k)$.