Anneau topologique

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :

• $(x,y)\to x+y$ est continue
• $x\to -x$ est continue
• ($x,y)\to xy$ est continue

où R est muni de la topologie produit.

L'ensemble des rationnels, des réels, des complexes, des nombres p-adiques sont des anneaux topologiques pour leur topologie classique (distance pour les 3 premiers, distance p-adique pour le dernier). Ce sont même des corps topologiques.

L'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique E vers l'ensemble des réels est un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple.

Si R est un anneau commutatif et I un idéal de R, alors R est un anneau topologique pour la topologie I-adique définie de la manière suivante: Un sous-ensemble U de R est ouvert si et seulement si , il existe un entier naturel n tel que

Si, de plus,

alors R est un espace séparé ou espace de Hausdorff.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est une topologie I-adique avec I = p$\mathbb{Z}$

Si R est séparé, on peut induire sur R une distance :

d(x,y) = 2 où k est le premier entier tel que $x-y\notin I^k$

d(x,y)= 0 si $x-y\in I^k$ pour tout entier k.

On peut alors parler de suites de Cauchy et rechercher le complété de l'anneau R