Calcul (mathématiques)

En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d'opérations effectuées sur des grandeurs. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l'abstraction permet maintenant d'effectuer des calculs sur des objets plus complexes (fonctions, vecteurs, propositions). Par la suite, l'informatique a permis de faire couramment des calculs sur des donnés formelles variées et le calcul est devenu un objet d'étude dans la théorie de la calculabilité.

L'addition est un exemple de calcul.

Le mot « calcul » vient du mot d'origine latine calculus qui signifie « petit caillou ». Selon Georges Ifrah, les bergers comptabilisaient leurs moutons avec des cailloux dans un pot à l'entrée et à la sortie de la bergerie. Ces petits cailloux sont à l'origine d'un des plus anciens systèmes comptables découvert à nos jours. L'usage de cailloux pour symboliser des personnes, des animaux ou des mesures de grains et pour y effectuer des additions et des soustractions est fondamental dans l'évolution du calcul mathématique. Premier outil de calcul silencieux et symbolique, il est le précurseur de toute une famille d'aide au calcul que sont les abaques.

Les premiers calculs ont porté sur des nombres entiers (nombre d'animaux dans un troupeau, nombre de soldats dans une armée, nombre de jours dans un calendrier, prix à payer lors d'une transaction ou un impôt). Le développement des systèmes de numération permet d'effectuer ensuite des calculs sur des nombres fractionnaires (représentant des longueurs ou des durées) comme à Sumer à la fin du IV millénaire ou plus tard en Égypte.

Dans l'Antiquité, les Grecs semblent avoir eu des préoccupations moins immédiates. Le calcul sera par exemple orienté dans le but de « mesurer la terre », travail de géométrie avec le sens philosophique qui lui est attaché : « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre », proclame l'épigraphe du fronton de l'Académie de Platon. D'un outil de numération à l'usage des pâtres et des comptables, le calcul a donc progressivement évolué vers l'abstraction. Les mathématiciens grecs travaillent sur des longueurs et étudient la notion de commensurabilité (existe-t-il une unité qui permette de mesurer deux longueurs ?) qui est à rapprocher de la notion actuelle de nombre rationnel. En cherchant à calculer la diagonale du carré de côté 1, c'est-à-dire racine carrée de deux, ils découvrent l'existence de nombres incommensurables, (on dirait de nos jours nombres irrationnels) et inventent la notion de longueur constructible. Pendant plusieurs siècles, les calculs s'effectuent sur ces types de nombres.

La recherche de solutions des équations du second degré mène à des calculs sur des nombres négatifs ou complexes, que d'Alembert dans son encyclopédie, qualifie respectivement de racines fausses et de racines imaginaires et ne les accepte pas comme résultat d'un calcul final. Quant à l'ensemble des nombres réels, il faut attendre la fin du XIX siècle pour qu'il soit clairement défini.

Parallèlement aux calculs sur des nombres (calcul numérique), se développent, chez les mathématiciens de langue arabe (Ibn al-Banna, Al Khwarizmi), précurseurs du calcul algébrique des calculs sur des polynômes.

Les notations symboliques développées par François Viète et René Descartes introduisent ce type de calcul en Europe. Les notations symboliques libèrent les calculs du champ des nombres et on effectue en Europe des calculs sur des objets aussi divers que des fonctions ( XVII siècle) , ou des vecteurs (XIX siècle). Vers la fin du XIX siècle, l'école allemande crée les ensembles (corps, anneaux sur lesquels se définissent des opérations qui n'ont qu'un lointain rapport avec l'addition et la multiplication classique, bien que la même notation leur soit attribuée (+ et ×). C'est la naissance des structures algébriques.

Au XIX et XX siècles, le développement de la logique mathématique offre un nouveau champ d'application : les propositions logiques. C'est le domaine du calcul des propositions.

On retrouve dans le domaine des opérations une évolution similaire. Les quatre premières opérations sont, par ordre de complexité, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Des règles de calculs sont établies pour ces quatre opérations qui vont des tables d'addition, ou de multiplication aux algorithmes de la multiplication ou de la division.

L'extraction de racine (racine carrée, racine cubique, etc.) est d'un niveau de complexité supérieur. Le livre chinois Les Neufs Chapitres, commentés par Liu Hui (263), présente des algorithmes d'extractions de racines carrées qui s'apparentent à l'algorithme de division, l'opération s'y nomme d'ailleurs le plus souvent « diviser par extraction de racine carrée ».

L'exponentiation (calcul de a), classique pour b entier, est plus tardive pour b rationnel ou réel.

Au fur et à mesure que les objet de calcul se diversifient, les opérations en font autant. À côté des opérations classiques d'addition, de soustraction et de multiplication par un réel, on trouve alors le produit matriciel, du produit vectoriel ou scalaire sur des vecteurs. On peut aussi faire le produit de polynômes, en faire une division euclidienne mais aussi les dériver. On peut aussi calculer la dérivée d'une fonction dérivable, intégrer une fonction intégrable, faire le produit de fonctions numériques ou composer des applications.

Le calcul en mathématique regroupe alors toutes les branches des mathématiques, du calcul statistique (moyenne, variance, estimateur) au calcul intégral, au calcul infinitésimal ou au calcul formel.

Sur les propositions logiques, les opérations sont les opérateurs logiques (et, ou, négation, etc.).

Un calcul est exact quand le résultat fourni ne diffère en rien du résultat cherché. Le calcul d'une somme, d'une différence ou d'un produit peut être effectué de manière exacte si les valeurs de départ sont exactes et si la taille du nombre n'excède pas la capacité de calcul. En revanche, il est fréquent que le calcul d'un quotient ou d'une racine ne puisse mener qu'à une valeur approchée. On parle alors de calcul approché. On cherche souvent à fournir, avec le résultat approché, une majoration de l'erreur commise. Par exemple, 7/3 est environ égal à 2,33 avec une erreur par défaut inférieure à 0,01, ou bien encore π est environ égal à 256/81. Ce calcul approché de π était connu des Égyptiens dès le XVII siècle av. J.-C. . Certains calculs d'aire et de volume ne peuvent s'effectuer qu'en valeur approchée.

Le calcul approché apparaît très tôt dans l'histoire du calcul. Il est à l'origine de la création de tables numériques de valeurs approchées : table des sinus en Inde et chez les mathématiciens de langue arabe, tables de logarithmes en Europe au XVII siècle. Il est un objet d'étude en Europe dès le XVII siècle avec le développement des fonctions en séries entières, et les recherches de valeurs approchées de zéro d'une fonction. Il reste très actuel et lié aux capacités de calcul des ordinateurs.

Longtemps, le calcul demandait des opérateurs humains, même si ces derniers étaient assistés d'auxiliaires mécaniques tels que le boulier ou l'abaque. Les méthodes de calculs complexes sont décrites très tôt à l'aide d'algorithmes qui libèrent l'utilisateur de la démarche de recherche pour ne lui laisser que les étapes du calcul à effectuer. C'est le cas par exemple des algorithmes figurant dans les mathématiques babyloniennes ou dans les Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique en Chine (263).

Les choses ont changé avec l'apparition du calcul automatique.

L'évolution des règles du calcul en mathématiques a permis la découverte de nouveaux algorithmes, qui décomposent simplement les instructions. Ces nouvelles méthodes sont fondamentales en informatique et en robotique, et sont très utilisées par les autres sciences telles que la physique ou la chimie.