Dodécaèdre

Dodécaèdre
Type	Polyèdre régulier
Faces	Pentagone
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	12 30 20 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	5
Isométries	Ih
Dual	Icosaèdre
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe

Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces. Certains dés ont une forme de dodécaèdre.

Un dodécaèdre régulier est un solide de Platon composé de faces pentagonales, dont 3 se rejoignent à chaque sommet.

Le groupe des isométries directes du dodécaèdre régulier est isomorphe à A₅ (groupe alterné sur 5 éléments). Le groupe de ses isométries est isomorphe à $A_5\times Z/2Z$.

Les coordonnées canoniques pour un dodécaèdre centré sur l'origine :

$(0,\pm \frac{1}{\phi },\pm \phi )$,

$(\pm \frac{1}{\phi },\pm \phi ,0)$,

$(\pm \phi ,0,\pm \frac{1}{\phi })$,

$(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$,

où $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or.

Les coordonnées du centre des arêtes :

$(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\phi }{2},\pm \frac{\phi +1}{2})$,

$(\pm \frac{\phi +1}{2},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\phi }{2})$,

$(\pm \frac{\phi }{2},\pm \frac{\phi +1}{2},\pm \frac{1}{2})$,

$(0,\pm \phi ,0)$,

$(\pm \phi ,0,0)$,

$(0,0,\pm \phi )$,

Si a est la longueur d'une arête :

La surface est égale à :

et le volume à :

L'angle dièdre entre deux faces vaut :

soit environ 116°33'54.

Le squelette du dodécaèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe dodécaédrique.

• Le dodécaèdre rhombique
• Le triakitétraèdre
• Le disphénoïde adouci

• Le dodécaèdre romain