Dual topologique

• Soit $\mathbb{E}$ un espace vectoriel topologique sur le corps $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Le dual topologique ${\mathbb{E}}^{\prime }$ de $\mathbb{E}$ est le sous-espace de ${\mathbb{E}}^{\ast }$ (espace dual de E) formé des formes linéaires continues (il est immédiat que c'est bien un sous-espace vectoriel).

Si l'espace est de dimension finie le dual topologique coïncide avec le dual (algébrique) puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.

Par contre ceci est inexact dans le cas général. Ainsi par exemple envisageons l'espace vectoriel réel $\mathbb{D}$ des fonctions dérivables de l'intervalle [0,1] dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie de la norme uniforme $n(f)={\sup }_{x\in [0,1]}|f(x)|$. Soit alors $p$ la forme linéaire définie par $p(f)=f^{\prime }(0)$. Soit par ailleurs la suite $(f_n{)}_{n>0}$ de fonctions de $\mathbb{D}$ définie par $f_n(x)=x(1-x{)}^n$. On constate facilement que ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n=0$ (la fonction $f_n$ est positive et maximale pour $x=1/(n+1)$). Mais $p(f_n)=1$ pour tout n alors que $p(f_n)$ devrait tendre vers $p(0)=0$ si $p$ était continue !

Nous allons dire quelques mots sur les topologies que l'on peut définir canoniquement dans certains cas sur le dual.

Topologie faible du dual

• À tout vecteur v de $\mathbb{E}$ on peut faire correspondre l'application ${\nu }_v$ de ${\mathbb{E}}^{\prime }$ dans $\mathbb{R}$ définie par ${\nu }_v(p)=|p(v)|$.

Il est immédiat que ν_v est une semi-norme sur ${\mathbb{E}}^{\prime }$. On considère une famille finie J de semi-normes. On définit la semi-norme $p_J(x)={\sup }_{i\in J}{p}_i(x)$. Cette famille de semi-normes p_J est filtrante. La topologie définie par cette famille de semi-normes s'appelle topologie faible du dual. Muni de cette topologie, ${\mathbb{E}}^{\prime }$ est un espace localement convexe. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, la topologie définie ci-dessus est séparée.

Topologie forte sur le dual d'un espace normé

• Si $\mathbb{E}$ est un espace vectoriel normé, on peut définir une norme duale $|.{|}^{\prime }$ sur ${\mathbb{E}}^{\prime }$ par

${\mathbb{E}}^{\prime }$ muni de cette norme (on dit "le dual fort") est un espace de Banach.

En effet soit $p_n$ une suite de Cauchy de ${\mathbb{E}}^{\prime }$.

Pour tout $v\in \mathbb{E}$ la suite $p_n(v)$ est une suite de Cauchy de $\mathbb{K}$ ( puisque $|p_m(v)-p_n(v)|\le |p_m-p_n||v|$). Il en résulte la définition d'une fonction $p$ de ${\mathbb{E}}^{\prime }$ dans $K$définie par $p(v)={\lim }_{n\to \infty }{p}_n(v)$.

$p$ est une forme linéaire (algébrique): démonstration immédiate ("passage à la limite")

$p$ est continue: $|p(v)|={\lim }_{n\to \infty }{p}_n(v)\le {\lim }_{n\to \infty }|p_n||v|$ et comme toute suite de Cauchy est bornée, il existe $\lambda >0$ tel que $|p_n|<\lambda$ pour tout $n$. D'où $|p(v)|\le \lambda |v|$, ce qui montre que p est continue en 0 et donc continue sur $\mathbb{E}$.

Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki affirme que la boule unité de l'espace dual d'un espace de Banach, muni de la norme de la topologie forte, est *-faiblement compacte.

Nous allons prouver le résultat fondamental suivant :

Le dual topologique ${\mathbb{H}}^{\prime }$ d'un espace de Hilbert $\mathbb{H}$ est l'image de $\mathbb{H}$ par l'isomorphisme $j$ tel que l'image $j(v)$ d'un vecteur $v\in \mathbb{H}$soit la forme linéaire définie par $\forall w\in \mathbb{H},⟨j(v),w⟩=(v|w)$ (produit scalaire).

• En effet, l'application $j(v)$ est clairement une forme linéaire (« en w »), continue en vertu de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

• $j$ est évidemment linéaire.

• Si $j(v)=0$, quel que soit $w\in \mathbb{H}$, $(v|w)=0$. En appliquant ceci à $w=v$ on déduit $v=0$, ce qui montre que $j$ est injective.

• Montrons enfin que $j$ est surjective. Tout d'abord $j(0)=0$. Soit à présent $p$ une forme linéaire non nulle continue sur $\mathbb{H}$. L'hyperplan vectoriel $M$d'équation $p(v)=0$ est fermé. La théorie de la projection sur un hyperplan fermé d'un Hilbert (cf. espace de Hilbert) montre l'existence d'un vecteur unitaire u orthogonal à cet hyperplan $M$ et de plus $H=M\oplus vect(u)$. Tout vecteur w de $\mathbb{H}$ s'écrit de manière unique $w=(u|w)u+w^{\prime }$ avec $w^{\prime }\in M$. Il en résulte que $p(w)=(u|w)p(u)=(p(u)u|w)$ puisque $p(w^{\prime })=0$. Ainsi $j(p(u)u)=p$.

Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet selon la topologie retenue sur le dual les formes linéaires sur ce dual pourront être ou non continues.

Bidual d'un espace de Banach et réflexivité

Dans le cas d'un espace de Banach E, on qualifie en général de bidual le dual du dual muni de la topologie forte, noté E''.

Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation

qui constitue une injection isométrique. Lorsque J est une bijection, l'espace E est dit réflexif.

Par exemple, pour $1<p<\infty$, l'espace l des suites (x_n) telles que ${\sum }_{n=0}^{\infty }{\left|x_n\right|}^p$ converge, est réflexif. Son dual est l'espace des suites (y_n) telles que ${\sum }_{n=0}^{\infty }{\left|y_n\right|}^q$ converge, avec $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Par contre, l'espace c₀ des suites de limite nulle n'est pas réflexif. Son dual est l'espace l des suites (x_n) telles que ${\sum }_{n=0}^{\infty }\left|x_n\right|$ converge, et dont le dual est $l^{\infty }$, espace des suites bornées.