Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable : $f:U\to \mathbb{R}$ (Où U est un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$) qui satisfait l'équation de Laplace:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}=0$ Sur tout U.

On écrit aussi :

${\nabla }^{2}f=0$ ou Δf = 0

Un exemple particulier est constitué des fonctions partie réelle et partie imaginaire déduites d'une fonction holomorphe.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : une fonction continue étant donnée sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger en une fonction harmonique dans tout l'intérieur de cet ouvert?