Groupe topologique

En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire lorsque la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.

Définition —  Un groupe $(G,\star )$ muni d'une topologie est dit topologique lorsque les applications :

• $(x,y)\in G^2⟼x\star y$ ;
• et $x\in G⟼x^{-1}$

sont continues.

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :

Théorème —  Un groupe $(G,\star )$ est un groupe topologique si et seulement si l'application

$(x,y)\in G^2⟼x\star y^{-1}$ ;

est continue.

Sur tout groupe topologique localement compact et séparable, il existe une et une seule mesure (à coefficient multiplicateur près) invariante par la translation à gauche $\left(x⟼y.x\right)$ : la mesure de Haar.

Théorème : Le groupe additif $\mathbb{R}$. Un sous-groupe de $\mathbb{R}$ est soit dense, soit de la forme $a\mathbb{Z}$, pour un unique $a\ge 0$.

Démonstration :

Soit $(G,+)$ sous groupe différent de $\{0\}$. On définit $G^{+}=G\cap ]0;+\infty [$. On s’intéresse à la borne inférieure de ${\mathrm{G}}^{+}:a=\inf G^{+}$.

Si $a=0,\exists a_n$ une suite de $G^{+}$ qui converge vers $0$. Soit $\epsilon >0,\exists x\in G\cap ]0;\epsilon [$ tel que $\forall p\in \mathbb{Z}$, $px\in G$. Tout intervalle de longueur $\epsilon$ contient un élément de $G$ donc $G$ est dense.

Si $a\ne 0$, $a\in G^{+}$  : en effet, sinon $(\forall \epsilon >0)(\exists (x,y)\in G^{+})((x,y)\in ]a;a+\epsilon {[}^{2}etx<y)$ (car il y a une infinité d’éléments de $G$ proche de $a$. Alors comme $G$ est groupe, $z=y-x\in G$ et $0<z<\epsilon$ donc $z\in G^{+}$. En supposant que $\epsilon <a$, alors $0<z<a$ donc $a$ n’est plus la borne inférieure de $G^{+}$. D’où $a=\min G^{+}$ et $a$ est isolé : $\forall n$, les $na$ sont dans $G$ car $G$ est un groupe : $a\mathbb{Z}\subset G$.

Soit $y\in G\Rightarrow \exists n\in \mathbb{N}$ tel que $na\le y<(n+1)a$ (par le caractère archimédien de $\mathbb{R}$).

$y-na\in G$ mais $y-na\in [0;a[$. Comme $a=\min G^{+}$, $y-na=0$ donc $y=na$ donc $G\subset a\mathbb{Z}$ :

Le cercle $S^1$, qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe $S^1$ est soit fini soit dense.

Un exemple plus sophistiqué est $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\mathbb{N}}$. Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Pour le voir, on a besoin de la notion de produit infini d'espaces topologiques.

Dans un groupe topologique, les translations

sont des homéomorphismes.

La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.

Un groupe topologique G est séparé ssi le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé ssi l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.

Si $U$ est une partie ouverte et $A$ une partie quelconque, $U\star A$ et $A\star U$ sont ouverts, puisque, par exemple, $U\star A={\bigcup }_{a\in A}U\star a$.

Un groupe topologique est naturellement muni de deux structures uniformes (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquent complètement régulier. Tout morphisme continu de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées.

Dorénavant, nous omettrons le signe $\star$.

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire $\mathrm{GL}(n,K)$, avec $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On les munit de la topologie induite par celle de $\mathrm{End}(K^n)$.

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élement neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Si $(G,+)$ est un groupe abélien, si $(G_n)$ est une suite de sous-groupes de $G$ telle que:

Alors la suite $(G_n)$ induit une topologie sur $G$ dans laquelle les voisinages de $x$ sont les parties de $G$ contenant un des ensembles $x+G_n$.

Si de plus, l'intersection des $(G_n)$ est réduite à $\{0\}$ où $0$ est l'élément neutre de $G$, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la topologie p-adique: Si $p$ est un entier naturel, la suite $(G_n)$ est définie par $G_n=p^{n}G$ . (on rappelle que, pour tout entier naturel $k$ et tout élément $x$ de $G$, l'élément $kx$ est défini par

Distance induite

On peut définir une distance sur $(G,+)$ muni de la topologie induite par $(G_n)$ si l'intersection des $G_n$ est bien réduite à $\{0\}$:

où $k$ est le premier entier tel que $x-y\notin G_k$ et

$d(x,y)=0$ si pour tout entier $k$, $x-y\in G_k$

Complété

Si $(G,+)$ est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite $(G_n)$, on peut définir dans $G$ des suites de Cauchy. Une suite $(x_n)$ est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage $V_0$ de 0, il existe un entier $n$ tel que

Sur cet ensemble de suites de Cauchy noté $S_C(G)$ on peut définir une relation d'équivalence:

Le groupe quotient $S_C(G)$ est alors un espace complet. Le groupe $G$ est alors isomorphe à un sous-groupe dense de $S_C(G)$.

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui des nombres p-adiques : on fait cette construction à partir de $\mathbb{Z}$ et de la multiplication par un nombre premier $p$.

Cette construction du complété se généralise, dans le cadre uniforme, à tout groupe topologique abélien séparé