Identité trigonométrique

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Introduction

Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : avec les fonctions trigonométriques, nous définirons sin, cos, etc., les fonctions telles que pour tout réel x, sin(x) = (sin(x)), ...

À partir des définitions

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )} cotan (x) = \frac{1}{tan ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )} cosec (x) = \frac{1}{sin ( x )}

Propriétés liées au cercle trigonométrique

Symétries, parité

Parité - Réflexion d'axe θ = 0	Réflexion d'axe θ = π / 4	Réflexion d'axe θ = π / 2
$\begin{align} \sin(0 -\theta) &= -\sin \theta \ \cos(0 -\theta) &= +\cos \theta \ \tan(0 -\theta) &= -\tan \theta \ \mathrm{cotan} (0 -\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \ \mathrm{cotan}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$

Périodicité, décalages

Décalage de $\frac{π}{2}$	Décalage de π (Période de tan et cotan)	Décalage de 2π (Période de sin et cos)
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \ \mathrm{cotan}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \ \mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \ \mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \end{align}$

À partir du théorème de Pythagore

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1 tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x) cot^{2} (x) + 1 = csc^{2} (x)

Équation trigonométrique

cos x = cos a \Leftrightarrow x = a + 2 nπ ou x = - a + 2 nπ (n \in Z)

sin x = sin a \Leftrightarrow x = a + 2 nπ ou x = π - a + 2 nπ (n \in Z)

tan x = tan a \Leftrightarrow x = a + nπ (n \in Z)

Formules d'addition et de différence

Le moyen le plus rapide pour retrouver ces formules est d'utiliser les formules d'Euler en analyse complexe.

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Le cosinus est méchant (asocial et contestataire !) : il ne sympathise pas avec les sinus, et de plus il change les signes ».

tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}

Une conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :

α sin w x + β cos w x = α^{2} + β^{2} \cdot sin (w x + φ)

où

$φ = a r c t an (β / α)$ si α est positif et $φ = a r c t an (β / α) + π$ sinon

Formules de duplication et d'angle moitié

Formules de l'angle double

Appelées aussi formules d'angle double, elle peuvent être obtenues en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition et en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec n = 2.

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

tan 2 x = \frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x} = \frac{2 cot x}{cot ^{2} x - 1} = \frac{2}{cot x - tan x}

Une conséquence amusante de la formule de duplication du cosinus est la suivante :

$cos (\frac{π}{2 ^{n}}) = \frac{1}{2} 2 + 2 + 2 + 2 + \dots$ avec n-1 « 2 » sous le radical.

En passant à la limite, on a une démonstration du fait que $2 + 2 + 2 + 2 + \dots = 2$

Formules de réduction du carré

Ces formules permettent d'écrire cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction du cosinus de l'angle double.

cos^{2} x = \frac{1 + cos ( 2 x )}{2}

sin^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2}

tan^{2} x = \frac{1 - cos ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )}

Formules d'angle moitié

En remplaçant x par $\frac{x}{2}$ dans les formules de réduction des carrés, et ensuite en cherchant l'expression de $cos (\frac{x}{2})$ et $sin (\frac{x}{2})$ , nous obtenons :

cos (\frac{x}{2}) = (\frac{1 + cos x}{2})

sin (\frac{x}{2}) = (\frac{1 - cos x}{2})

En multipliant $tan (\frac{x}{2})$ par $\frac{2 c o s ( x /2 )}{2 c o s ( x /2 )}$ et en le remplaçant par $\frac{s i n ( x /2 )}{c o s ( x /2 )}$ on obtient au numérateur sinx d'après la formule d'angle double, et au dénominateur $2 cos^{2} (\frac{x}{2})$ qui est aussi égal à cosx + 1 selon la formule de réduction du carré.

La seconde formule vient de la première en multipliant numérateur et dénominateur par sinx et en simplifiant en utilisant le théorème de Pythagore et l'identité remarquable 1 − cos**x = (1 − cos**x)(1 + cos**x).

tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin x}{cos x + 1} = \frac{1 - cos x}{sin x}

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Si on pose $t = tan (\frac{x}{2})$ , on a :

cos (x) = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

sin (x) = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

tan (x) = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :

d x = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}}

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formules de Simpson

Transformation de produits en sommes

cos p cos q = \frac{1}{2} (cos (p + q) + cos (p - q))

sin p cos q = \frac{1}{2} (sin (p + q) + sin (p - q))

sin p sin q = \frac{1}{2} (cos (p - q) - cos (p + q))

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

Transformation de sommes en produits

sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}

sin p - sin q = 2 cos \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}

cos p + cos q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}

cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}

Il suffit de remplacer p par $\frac{p + q}{2}$ et q par $\frac{p - q}{2}$ dans les formules de transformation de produit en somme.

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Si, coco, si ; coco, si si ! Priorité au sinus et à l'addition, −2 à la dernière ».

tan p + tan q = \frac{sin ( p + q )}{cos p cos q}

Formules d'Euler

cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i}

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

$cos (n x) + i sin (n x) = (cos x + i sin x)^{n}$ où i est l'unité imaginaire.

Si T_n est le n-ième polynôme de Tchebychev alors

cos (n x) = T_{n} (cos x) .

Pour tout entier naturel n on a

cos (n x) = k = 0 \sum ⌊ \frac{n}{2} ⌋ (n - 2 k n) (- 1)^{k} co s^{n - 2 k} x (1 - co s^{2} x)^{k}

Le noyau de Dirichlet D_n est la fonction définie par :

pour tout réel x, $D_{n} (x) = 1 + 2 cos (x) + 2 cos (2 x) + 2 cos (3 x) + \dots + 2 cos (n x) = \frac{s i n ( ( n + \frac{1}{2} ) x )}{s i n ( x /2 )}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

Linéarisation

cos^{n} x = (\frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2})^{n}

sin^{n} x = (\frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i})^{n}

Connaissant la formule de De Moivre :

$(cos (θ) + i sin (θ))^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$ ;

il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

e^{i (n - k) x} e^{- ik x} = e^{i (n - 2 k) x}

e^{in x} + e^{- in x} = 2 cos (n x)

e^{in x} - e^{- in x} = 2 i sin (n x)

Formules de linéarisation de degré 2

cos^{2} a + sin^{2} a = 1

cos^{2} a = \frac{1 + cos ( 2 a )}{2}

sin^{2} a = \frac{1 - cos ( 2 a )}{2}

tan^{2} a = \frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )}

Fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

y = arcsin x \Leftrightarrow x = sin y avec y \in [\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]

y = arccos x \Leftrightarrow x = cos y avec y \in [0; π]

y = arctan x \Leftrightarrow x = tan y avec y \in] \frac{- π}{2}; \frac{π}{2} [

Si x > 0 alors

$arctan (x) + arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2}$ .

Si x < 0 alors le côté droit de l'égalité doit être remplacé par $- \frac{π}{2}$ .

arctan (x) + arctan (y) = arctan (\frac{x + y}{1 - x y}) + k π

où

k = 0 si x y < 1

k = 1 si x y > 1 et x > 0

k = - 1 si x y > 1 et x < 0

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore :

cos (arcsin (x)) = 1 - x^{2}

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

sin (arctan (x)) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

tan (arcsin (x)) = \frac{x}{1 - x ^{2}}

tan (arccos (x)) = \frac{1 - x ^{2}}{x}

cos (arctan (x)) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

Propriétés métriques dans un triangle quelconque

Formule des sinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Soit un triangle ABC de côtés de longueurs a, b et c (le côté [AB] est de longueur c, etc.), d'aire S, de hauteur h, de périmètre p et dont le rayon du cercle circonscrit est R (voir figure ci-contre). Nous avons l'égalité suivante :

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = \frac{ab c}{2 S} = \frac{ab c}{2 p r} = 2 R

Il suffit de voir que h**a = 2S avec h = csinβ donc abcsinβ = 2S**b. D'autre part soit I le point de concours des bissectrices r le cercle inscrit r**a + r**b + r**c = 2S = 2r**p.

Formule des différences des côtés

b - c = a \cdot \frac{sin ( \frac{B - C}{2} )}{cos ( \frac{A}{2} )}

\frac{b - c}{b + c} = \frac{tan ( \frac{B - C}{2} )}{tan ( \frac{B + C}{2} )}

tan (\frac{A}{2}) = \frac{r}{p - a}

(Se rappeler que $\frac{A}{2}$ étant aigu, $tan (\frac{A}{2}) = \frac{1 - c o s ( A )}{1 + c o s ( A )}$ et appliquer le théorème d'Al-Kashi.

Identités sans variable

Richard Feynman qui était réputé pour avoir très bien appris ses formules de trigonométrie, s'est toujours rappelé cette curieuse identité :

cos 2 0^{\circ} \cdot cos 4 0^{\circ} \cdot cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{8} .

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

j = 0 \prod k - 1 cos (2^{j} x) = \frac{sin ( 2 ^{k} x )}{2 ^{k} sin ( x )} .

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

cos 3 6^{\circ} + cos 10 8^{\circ} = \frac{1}{2} .

cos 2 4^{\circ} + cos 4 8^{\circ} + cos 9 6^{\circ} + cos 16 8^{\circ} = \frac{1}{2} .

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs :

cos \frac{2 π}{21} + cos \frac{2 ( 2 π )}{21} + cos \frac{4 ( 2 π )}{21} + cos \frac{5 ( 2 π )}{21} + cos \frac{8 ( 2 π )}{21} + cos \frac{10 ( 2 π )}{21} = \frac{1}{2} .

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

En analyse

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

encadrement

L'analyse consiste souvent à encadrer une fonction. La signification géométrique du sinus et de la tangente "montre" que pour x inférieur à $^{\frac{π}{2}}$ :

$sin (x) \leq x \leq tan (x)$ .

Cet encadrement est souvent utilisé ; un exemple est la méthode d'Archimède pour le calcul de Pi (voir quadrature du cercle ).

dérivées

Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

$lim_{x \to 0} \frac{s i n ( x )}{x} = 1$ ,

$lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ ;

et en utilisant alors la définition avec les limites de la dérivée en un point ainsi que les théorèmes d'addition ; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

\frac{d}{d x} sin (x) = cos (x) = sin (x + \frac{π}{2})

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation, par exemple :

\frac{d}{d x} cos (x) = - sin (x) = cos (x + \frac{π}{2})

\frac{d}{d x} tan (x) = 1 + tan^{2} (x) = \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = sec^{2} (x)

\frac{d}{d x} cotan (x) = - 1 - cotan^{2} (x) = - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = - cosec^{2} (x)

\frac{d}{d x} arcsin (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}

\frac{d}{d x} arctan (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

primitives

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des Primitives de fonctions trigonométriques.