Intégration par changement de variable

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Introduction

En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle de la règle de dérivation en chaîne. Soit deux fonctions dérivables f,g et sachant, par la définition d'intégrale, que

\int f^{'} (x) d x = \int d f (x) = f (x) + C

alors la formule de la règle de dérivation en chaîne permet d'obtenir

\int (\frac{d}{d g ( x )} f (g (x)) \cdot \frac{d}{d x} g (x)) d x = \int d [f \circ g (x)] = f \circ g (x) + C

Exemple

Il est évidemment plus aisé de comprendre par l'exemple. Supposons qu'on veuille calculer

\int 2 x cos (x^{2}) d x

Si on pose le changement de variable u = x et donc du = 2xdx alors

\int 2 x cos (x^{2}) d x = \int cos (u) d u = sin (u) + C = sin (x^{2}) + C

Théorème

Soit f une fonction numérique continue, et φ(t) une fonction de classe $C^{1}$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle [a, b] dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f.

Alors

\int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

Démonstration :

f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction $F \circ φ$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a:

(F \circ φ)^{'} = (f \circ φ) \times φ^{'}

D'où

\int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} ((f \circ φ) \times φ^{'}) (t) d t

= \int_{a}^{b} (F \circ φ)^{'} (t) d t

= [F \circ φ]_{a}^{b}

= F (φ (b)) - F (φ (a))

= \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (x) d x

Changements de variables classiques

Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
Pour calculer $\int f (x, n \frac{a x + b}{c x + d}) d x$ , où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose $u = n \frac{a x + b}{c x + d}$ : le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.