Logique combinatoire

Avertissement: Cet article traite de la logique combinatoire, au sens qu'a ce mot en logique mathématique et en informatique théorique. Il ne doit pas être confondu avec ce que l'on appelle logique combinatoire en électronique.

La logique combinatoire est une notation introduite par Moses Schönfinkel et Haskell Curry pour supprimer le besoin de variables en mathématiques, pour formaliser rigoureusement la notion de fonction et pour minimiser le nombre d'opérateurs nécessaires pour définir le calcul des prédicats à la suite de Henry M. Sheffer. Plus récemment elle a été utilisée en informatique comme modèle théorique de calcul et comme base pour la conception de langages de programmation fonctionnels.

Le concept de base de la logique combinatoire est celui de combinateur qui est une fonction d'ordre supérieur ; elle utilise uniquement l'application de fonctions et éventuellement d'autres combinateurs pour définir de nouvelles fonctions d'ordre supérieur. Elle a des liens très forts avec le lambda calcul et avec la logique intuitionniste grâce à la correspondance de Curry-Howard.

La logique combinatoire est fondée sur deux « opérations » de base (on dit aussi deux « combinateurs ») S et K que nous définirons plus loin ; plus précisément nous en définirons le comportement ou l'« intention », car la logique combinatoire est une approche de la logique qui montre plutôt comment marchent les choses que comment les objets peuvent être décrits, on dit alors que c'est une approche intentionnelle de la logique. Si l'on veut définir la fonction que nous appellerons C et qui prend trois paramètres et rend comme résultat le premier appliqué au troisième, le tout étant appliqué au second, on pourra l'écrire :

C ≡ S ((S (K S) K) (S (K S) K) S) (K K)

qui, comme on le voit, ne comporte pas de variable. On pourra regretter que l'avantage de ne pas utiliser de variables se paie par la longueur des expressions et une certaine illisibilité. Aujourd'hui la logique combinatoire est surtout utilisée par les logiciens pour répondre positivement à la question « Est-il possible de se passer de variables ? » et par les informaticiens pour compiler les langages fonctionnels.

Le plus simple des combinateurs est I (identité) défini par

I x = x.

Un autre combinateur simple est K, il fabrique des fonctions constantes, ainsi (K x) est la fonction qui, pour tout paramètre, retourne x, autrement dit

(K x) y = x

pour tous termes x et y. Comme en lambda-calcul, on associe les applications de gauche à droite, ce qui permet de supprimer des parenthèses, ainsi on écrit

K x y = x.

Un autre combinateur de base est S qui distribue le paramètre (ici z) aux applications composantes :

S x y z = x z (y z)

S applique le résultat de l'application de x à z au résultat de l'application de y à z.

I peut être construit à partir de S et K, en effet :

(S K K) x = S K K x

= K x (K x)

= x.

On décrète donc que I est un combinateur dérivé et que I = S K K et on décide de décrire tous les combinateurs à l'aide de S et K, ce qui est raisonnable car on peut montrer que cela suffit pour décrire « toutes » les fonctions d'une certaine forme.

En fait, les transformations fonctionnent comme des réductions et pour cela on les note →. On obtient donc les deux règles de réduction de base de la logique combinatoire.

K x y → x,

S x y z → x z (y z).

• B ≡ S (K S) K. Le combinateur B correspond à l'opérateur de composition des fonctions habituellement noté « $\circ$ ». Son nom est dérivé du syllogisme Barbara. On a donc

B x y z ≡ S (K S) K x y z

→ K S x (K x) y z

→ S (K x) y z

→ K x z (y z)

→ x (y z).

• C ≡ S (B B S) (K K) est un combinateur qui intervertit ses paramètres.

C x y z ≡ S (B B S) (K K) x y z

→ B B S x (K K x) y z

→ B (S x) (K K x) y z

→ S x (K K x y) z

→ x z (K K x y z)

→ x z (K y z)

→ x z y

• W ≡ S I I. Le combinateur W permet de construire un autre combinateur à savoir W W, qui a la propriété de se réduire à lui-même. On a ainsi

W W ≡ S I I (S I I)

→ I (S I I) (I (S I I))

→ S I I (I (S I I))

→ S I I (S I I) ≡ W W

On peut associer un type à chacun des combinateurs. Le type d'un combinateur dit comment il prend en compte le type de ses paramètres pour produire un objet d'un certain type. Ainsi le combinateur I change son paramètre en lui-même ; si on attribue le type α à ce paramètre x, alors on peut dire que Ix a le type α et que I a le type α → α. Ici la flèche → désigne le constructeur de type fonctionnel, en gros α → α est le type de la classe des fonctions de α vers α, → a construit une nouveau type α → α à partir du type α.

K prend un paramètre, disons de type α et rend une fonction d'un paramètre de type β qui rend le premier paramètre, le type de cette dernière fonction est donc β → α et le type de K est ainsi α → (β → α), que l'on écrit α → β → α. S prend trois paramètres x, y et z ; donnons le type α au troisième paramètre z et le type γ au résultat final, le deuxième paramètre y prend un paramètre de type α et rend un paramètre de type disons β (son type est donc α → β), le premier paramètre x prend un paramètre de type α et rend une fonction de type β → γ, son type est donc α → (β → γ), que l'on écrit α → β → γ. Résumons-nous, on a z:α , y: β → α et x: α → β → γ et S x y z: γ, on en conclut que S a le type (α → β → γ) → (α → β) → α → γ.

Le résultat M N qui consiste à appliquer M à N est typable si M à un type fonctionnel, disons α → β et si N a pour type α. M N a alors pour type β.

Le type de B est (α → β) → (γ → α) → γ → β. On le voit soit en remarquant que B x y z →* x (y z), soit en appliquant la règle de composition à S (K S) K.

Le type de C est (α → β → γ) → β → α → γ, pour les mêmes raisons que celles invoquées pour B.

Le combinateur W n'est pas typable.

En résumé:

K : α → β → α

S : (α → β → γ) → (α → β) → α → γ

I  : α → α

B : (α → β) → (γ → α) → γ → β

C : (α → β → γ) → β → α → γ

Forte normalisation

Si M est un combinateur typé, alors toute chaine de réduction qui commence en M est finie. On appelle cette propriété la forte normalisation.

On constate que le modus ponens

ressemble à la règle de conservation des types quand on applique un combinateur de type α → β à un combinateur de type α. Examinons aussi les deux premiers axiomes de la présentation à la Hilbert de la logique propositionnelle à savoir:

P → Q → P

(P → Q → R) → (P → Q) → P → R.

Rappelons qu'ils permettent de formaliser le calcul propositionnel intuitionniste. On remarque que le premier axiome est identique au type de K et que le deuxième axiome est identique au type de S si l'on remplace la proposition P par α, la proposition Q par β et la proposition R par γ. Cette correspondance entre proposition et type et entre combinateur et démonstration s'appelle la correspondance de Curry-Howard. Elle met en parallèle le système de déduction à la Hilbert pour la logique propositionnelle intuitionniste et la logique combinatoire qui ont été, notons-le, découverts indépendamment.