Loi de Rice

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

En statistiques et théorie des probabilités, la loi de Rice est une loi statistique continue (c'est-à-dire à densité).

C'est une généralisation de la loi de Rayleigh utilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

Rice


Paramètres	$ν \geq 0$ $σ \geq 0$
Support	$x \in [0; \infty)$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{x}{σ ^{2}} exp (\frac{- ( x ^{2} + ν ^{2} )}{2 σ ^{2}}) I_{0} (\frac{xν}{σ ^{2}})$
Fonction de répartition	$1 - Q_{1} (\frac{ν}{σ}, \frac{x}{σ})$ où Q₁ is the Marcum Q-Function
Espérance	$σ π /2 L_{1/2} (- ν^{2} /2 σ^{2})$
Variance	$2 σ^{2} + ν^{2} - \frac{π σ ^{2}}{2} L_{1/2}^{2} (\frac{- ν ^{2}}{2 σ ^{2}})$
Asymétrie (statistique)	(compliqué)
Kurtosis (non-normalisé)	(compliqué)

Caractérisation

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ. Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

$f (x, σ) = \frac{x}{σ ^{2}} exp (\frac{- x ^{2}}{2 σ ^{2}})$ .

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν,ν), la densité de probabilité devient :

f (x ∣ ν, σ) = \frac{x}{σ ^{2}} exp (\frac{- ( x ^{2} + ν ^{2} )}{2 σ ^{2}}) I_{0} (\frac{xν}{σ ^{2}})

où I₀(z) est la Fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Propriétés

Moments

Les premiers moments (non-centrés) sont:

μ_{1} = σ π /2 L_{1/2} (- ν^{2} /2 σ^{2})

μ_{2} = 2 σ^{2} + ν^{2}

μ_{3} = 3 σ^{3} π /2 L_{3/2} (- ν^{2} /2 σ^{2})

μ_{4} = 8 σ^{4} + 8 σ^{2} ν^{2} + ν^{4}

μ_{5} = 15 σ^{5} π /2 L_{5/2} (- ν^{2} /2 σ^{2})

μ_{6} = 48 σ^{6} + 72 σ^{4} ν^{2} + 18 σ^{2} ν^{4} + ν^{6}

L_{ν} (x) = L_{ν}^{0} (x) = M (- ν, 1, x) =_{1} F_{1} (- ν; 1; x)

où, L_ν(x) représente un Polynôme de Laguerre.

Pour le cas ν = 1/2:

L_{1/2} (x) =_{1} F_{1} (- \frac{1}{2}; 1; x)

= e^{x /2} [(1 - x) I_{0} (\frac{- x}{2}) - x I_{1} (\frac{- x}{2})] .

Généralement les moments sont donnés par

μ_{k} = s^{k} 2^{k /2} Γ (1 + k /2) L_{k /2} (- ν^{2} /2 σ^{2}),

où s = σ.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

Distributions liées

La variable $r = x^{2} + y^{2}$ est distribué selon une loi de Rice $R \sim Rice (σ, ν)$ à condition que $X \sim N (ν cos θ, σ^{2})$ et $Y \sim N (ν sin θ, σ^{2})$ soient deux variables gaussiennes indépendantes.
Pour obtenir une variable $R \sim Rice (ν, σ)$ , on peut considérer une autre procédure:

1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre $λ = \frac{ν ^{2}}{2 σ ^{2}} .$

2. Tirer X selon une loi du Chi-deux avec 2P + 2 degrés de liberté.

3. Poser $R = σ X .$

Si $R \sim Rice (1, ν)$ alors R possède une distribution Chi-deux non-centré, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν.

Cas limites

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient (voir Abramowitz & Stegun §13.5.1)

x \to - \infty lim L_{ν} (x) = \frac{∣ x ∣ ^{ν}}{Γ ( 1 + ν )} .

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ.